Esercizi completi Meccanica razionale

Revisionato il 22/09/2026

di boccardogabriele007

Publisher

Vota

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Nel file troverete gli esercizi di Meccanica razionale del corso di Ingegneria Meccanica - UniPD. Oltre agli esercizi più semplici vi sono anche numerosi temi d'esame e ogni singolo …

Esame Meccanica razionale

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Efthymiopoulos Christos

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2022-2023

80 pagine

Panieri

Scarica

Estratto del documento

MATERIALE

PUNTO

ES bo

9 2

= ,

p = t

t PARAMETRO

z & come

2 varie

= 2

& z(t))

( x esibt

(t) verocità

/ecobt /1

y(t) A

At) Unità

(t) m/s)

= =

, con

, , ,

F

i) ma

= = elt)

anche quale

della

troveremo It) ricorions

noi ,

(00s(bt))

ix feb sin (bt))

= abis (34)

: -

/abco(bel)

(3t1)

Cot(esin F

in /- mebless(bt)

: of

absin(bE)

= mebsin (b7)

: =

=s -

- , ,

(at(t)

+= a

= Al

↑ ) ebcos(bt)

ebsin(bt)

(t) =

> ,

- ,

/- eb"cosibt)

cit) ab'sin 01

/b)

- : , , Possono Calcolare

che

COSe

Altre POSSIBILI

= An

)" abosibt)

/8 /-ebsinbE) Al

. /@bsint obosbes 1

alb

(t) + : ,

V e ,

= : a2b2 Az

SCALARE

CENTRIPETA

ACC . I I

↑ abosibl)

(absin1bt) A)

- I

= .

2 Et ab"coslbt) ,

ab'sin(bt)

elet ,

1- 0) et

C =

= . - .

, , a2b2 Az

ab"

ab3 cos/btsin(bt) sin(btcos (b)) è

L'Accelerazione

- per definizione

& centripet

0 Tutta ,

= = ,

ab -Et

Al =

+ e' -e

ac =

1 ?

CURVATURA rc(t)

DEFINIZIONE DI k(t) =

= r (t)

= ↳ raggio di curvatura

vier

i) re(t) = Itin ltiIl

11 i

- M

L S

↑ (Aebisin(t))i i

leld'sinbt

-ebsinbt) 1 AlbicosbE)

A elbost)

abcosibt) +

= -ab"colbt) -ab"sin(bt) alb3

O =

ab3)

(Amb"sin(bt) Aob"cos(bt)

= - ,

eb)" elbi]"" /Altelbel"2

(aib(A

Iln11 /Abb ab

= =

12)3/2

eb'A

(a2b2 Al

ab ?

+ + 1 ab

2k(t)

rc = I

= = Al

abi

? (t)

ab +

, Es

= : mis)

c =

Visis11 Visill

/11 Ist

v :

= = .

= dr/sl) S

" = dS

(All) s

d ,

= d S Stre

SCALARE ↑

↑ +

(s)n("sis

n 53/5(n

~ (5) " (s)

= I

O

ii) di

)

RICHIAMO W

: .

1mv

tu Vi Na 1

- (ii)

V

Vis =

= = 0 )

(to

Va =

= ? 2

elbi

Le A VA

+ :0

WatB

COSTANTE Vi

MODUL 1

V = =

F /- mebeos(bt) 0)

meb" sin(bt) 0)

-mab

/- mab" (t)

(1)

= - x y

, , , ,

" tr

! %d)

E(x)

N -

+ ↓

to POTENZA

F1 Ele . perché Centripeta

Accelerazione

Allione solo

visto che +

anche 0 :o

Al F

↓ ) ebcos(bt)

ebsin(bt) . (mab" sinbtebt-marb3 a)

sinbtocht

It 0

+ =

- =

= , >

F /-mebeos o)

(bt) -mab sin (bE)

= , , è

risultato folto

del normale quindi

giustifica

Tola spestamento

sempre locale

si allo

forza ,

proprio non

produce Corona

Fix

inf Embix o)

-mby positive

71 costanti

= =

con

y ma

, ,

, , ,

1 conservativa

dimostrare F

· : F Ye

la corrispondente U(X t

olcolare 71

Y = -

. c

. .

, E :G

CX-C

DI

CRITERIO VERIFICI

TUT

CarcrY : ,

(Ex(xz1dx Jmbix dx mbxUy

Fx V =

= =

- Siydy Jubiyoy

-I ubyl

.. U

Fy = =

= :

-x - yUg(7)

== :=

Fz Us e

cose

0 - :

Embly2

Ambix2

U(x costante

21 = +

=> +

, .

S

ESERCITIO MATERIALE

PUNTO

* ↓ DATI :

Acoset Aso

M

Xa = ,

< y

6 ~

X

l'equazione

i) Scrivere del la

molo P

mosse

per

/Acs(et)

mxp Xp)

k(xa Xp) + + mg

mg = -

= -

Yp =

At V

Exp

+ + g 20

Xp wixp wAcs2t EQUAZIONE ORDINE

DEL

DIFFERENZIALE LINEARE coefficienti COSTANTI

OMOGENEA

+ + g NON CON

> ,

, ,

ii) generale particolare qualsiasi

della

soluzione soluzione

generale soluzione

corrispondente +

= orogenca

xp ccut

Xp(t)

wixp cost

0 G

+ +

= 2(t)

1(71

↑ XP +

P particolare . ,

* whXp &

costante

Xp :

= g )

+ = =

, n

p v ,

, ?

> m wiAcoselt Broset

Xp +P

+ z

p =

2 :

, . wiA

r'brt websit wiAcosst B

+ =

- r

wi -

Gecwt CSinwt -

Xp(t) -

)

= =

inf il

Acoset di

risultato AGENTI

Le Forte

Tutte

Xa Su Q

= Fa

Ma (Exa a)

1 0

= co =

a ,

, /goze

Acoset

io elsticel

REAZONE impongo cié la la

che nocla

VINCOLARE perché enche

genk X

evere

per e

= gonze guerite

di Xq

FxQ 4(x Arcoset

Rx Acrt

Xp)

+ >

X

- =

= = -

- =

Marcos ~

k(XXp)

ht Ry Mg-

- = 30

MAR" MrY)xa

crt Rx Mg

Rx k(X xp) - - xp

- -

= - -

- -Ma

ESERCIZIO 2

E

i) /criterio Cenchy

se il di

vole teorema Scherz

è conservative di

allore

E (Fr(X

(Fr Fz Fy

Fz) conservolino

F2(X z)

= y y

= y , ,

, . ,

, , )

)

I , 100

=> =

def , è irrorazionale

Ny)

[-xes"

Exyz)

i) Ries' - (4 2)

: .

= (X z)11

11 y

, ,

E

~ Schwerz

conservativo di

potenciale è forma

è deve valere

corrispondente se

a =

( +)

* = Sy

2x -2xE

2xy -z

2 Ly

y = y

x .

= :

= - .

- =

x + + 1 17 1)

C

= =

( zu) Ey

-2x

2xy Cy

2x -X

y 7

= :-

= -

. . ·

= -

+ E

OK conservative

Br(

F (

= - y =

, , 1x *

-C U Toglie

xges

Fx le

=> =

=+ y Y c'(y) ((z)

Fy >

= = = =

- z2

x2 +

= blog(y

=U:

CER +E,

Fz C11

l'it s

)

= 0

: =

↑

x2 23

+ +

ESERCIZIO 3 x C lunghezza

mi asta

M

T Mi esta

M mossa

↓

↓ 4

.. mig

mig XF I 1

I I X

O 2/2

↳

i) trova

equilibrio

è in

22 sistema , XF

Sistema 0

in RISULTANTE

EQUILIBR MOMENTI

DEL

- =

Mg(E F) mig(2 xi)

MOMENTI 0

migXF =

: -

- -

MgXF Mgl migl

migXF m2gXf

+ +

= E

mz)

ge(1 me

+ 2mz

Fg(m m) M

+ e

X + Xi

my + =

- =

, M)

2(m +

+ mz

M ,

mi mz +

il) la del

coordinate di

Centro

Xin messa

il in

Se al

equilibrio fulcro

sistema XF

rispetto Xan

> =

QUILIBRIO

iii) R

FRme-FPmz-Fpq (m M)8

R

+ = +

= + ma

Josiv(E)

if gose

R(4 = ,

lo verticale Caricentro

Determinare il

Yer(t)

del tro

che

essumendo

spostamento sir

sistema riposo

per

Josiv (t()

Josin(E) M(g

mutM)e

(m (m +

+ e

+ =

= g

. M

m +

t y]

(0(407 ( -

Sc(E)

(7) =

~ = +

I

& =

+ yt)a

(()

-) 2)

Pite(0E 27 y(

- + - +

- -S(si

sicili

gotht- in

- M

m mz

+ +

, mi 1 perché

serve se

derivo altengo Te

con

ESERCIZIO I Y

h Py

P

↑ Ph

ww PS 2

: m

= = m

-Y

↑

1 Ps

PS &2 ·

↓ C

↳ Esin(t) is

= =

C

P

, X

'Y X

i) Definite riferimento

opportuno sistema

un funzione

Determinare baricentre del

del

posizione c m

. 3

2 stesso

TraStre

Coto sullo

2 Senza

Prota piano

quatrato di sempre (1 =

youl

* ,

quadrato

del

trovare

en vertici tutte

Inoltre ugual

si e

mosse sono

consideriamo quadrato

del

mobile

terra centrata

Infolti in centro

(

la a

se y ,

Xe X Vi

(4) Ep

(t) Xp(t)

c ↑

possione notere Xp 12)

(t) 1

2 3 4

= = = :

= =

- ,

, ,

, p

3 , (E)

y =

5 zpi(S)

YP((() ypy(t) ypt)

(1 2

2 sin

= =

= -

-Ex Ey-2y 21

2 0

Xcu +

=> you

+ 0

= .

: =

= Gm 6m

L'unica dovuto di

la Ps

conlir alla

componente posizione del

riguardo è

che z171

C M presenza

, ,

esin() sin (1) Ven

- (t)

Esi

10 (X T 7)

oto

zan + rispetto

0 ce

posizione

=1 us

: a

= . ,

. , ,

Em inerziale

terna

ii) totole tramite di

Energia teorema

il König

cinetica = Sigmivi

M

KONIG

Teorema K

Di : +

M 2m

hm +

= =

= (t)

I s()) 10.0 +

10 )

V

. 0

, 0

vm :

0 =1 +

= =

, I

dell'energia tera

termine

il la fissato

consideriono mobile

secondo cinetica

per seguente

in C i

en /cost of

sinut Wez

: =

, =

f 1

1-sirwt o

coscut

2 we

= -

, , i

es = =1 10 1) 23

0 0

= =

, , -Ce

Esi

=- ~. vi e

V1 =

enew

2 =

-- Esin(it) en

=P vi =

= Que

Esi

+ e

C V =

: =

-e ewne

Esin(e en

vi =

s Es =

sin(t) Esi (I)

sin(t) We

: /E)

: Vs :

- men)

. (

: Em

K

= +

! new)

3 + we)

(x(t)

k =

= +

iii) Momento delle motivando risultato

rispetto

agente

forze esterne C

a [iRi-Ea) n

= -Rel i di il

mentre

veri c si vicenda

1 ancvecono per

...,2

o e

= =

con Es

il l

la che

garra

s fa

vettore

corpo e nuovere sono

ir) delle

Momento esteme di

gerne rispetto massa

centro

= Fi en a

l ed

lungo quantina

componenti si annullono mentre la

per corpi vicenda

1 2 h

3 a

, , ,

in S es

↓ roce-zesiv(

engo della

: del

componente lungo

viene compensata

es che

S were

colpo che mosse superior

ZinFi 1

Emivi /posizione stesso

infolti se

Ejvirizo dispetto

na a

= m

. .

= e

B =

1) Momento angolare Mi M

MÜ

in Ei

inmivi

+ :

con

Remis (0 (4)

sin(Et)

10 ,

, G

v 0

= .

I 0s(t)

Esiv(E)

(0 /0 . C 0)

- . 0 0

. .

, .

· en

Ei imit a tutto

ennullone ps

eugo

le encreca perché

componenti si su

B e

: is

- allineati

us e sono

amita

~ miltuntial ,

M ~

RITRATO

ESERCIZIO FASE

DI

1 EQUILIBRIO

PUNTI

PUNTI Fissi DI

= (usa

? eurovalori

stabilità iperbolico di

e elcittico Gli

seeco

punto

= , ,

i) 2xx)

(nix do

V(x) Ko

= +

- ,

sistema

corrispondente

Individuare Dinamico

· 3 S X

X v =

= v

↓ xx3

i - i kix

= = -

DERIVO

↳ da FORZA

mi Unità

PER MASSA

Di Fissi)

/PUNTI

DEL

Equilibrio SISTEMA

Individuare di

punti

· i

S > 0

V

V 0 :

= - =

2x Xx3 kiX xx3 0

= = 0

- =

- -

Xxx)

X(k2 = 0

- pr

& = x - -I

(40 10

vol

P

3 UNTI Diversi

EQUILIBRO 0

DI : =

, , )

1x0 201 : %

. %

(x vo) =

. - possibile

loro

di stabilità

equilibrio domenda

la %.

Individuare di el 1

punti veriere

numero

140 (x0

RISPOSTA di

sol ve)

equilibrio

, 10

punto

e 0

: ,

Iso equilibrio

y di

punti

sore

, si

se carattere Stabilità

Individuare fisso Trovato

Il di Ogni punto

· LINEARIZZAZIONE PUNTO

ATTRNO

METODO DEL

1 EQUAZIONI DI

MOTO EQUILIBRI

AL

num x fx(x r)

= =

v , -x fr

i - =

= I

I

[ 1

O

m = K2 3xx2 o

- (x Vivo)

vive X0

xx ,

, [id]

voro

- :

, lo =o X

-no

autovalori ecoli

C eubrotori os i REALI

= ↑

iperbolico punto Sell

EQUILIBRIO instabile

punto di

& , ↓

( REALI

SOLUZION LEGATE E oppOSTI

NON

PER TUTI TEMPI

(ini)

(i)

· in

vo :

Xx 1

0 - X Fi immaginari

2k) X 2 autovalori opposti

o + =

= = =

2420 xx

- EQUILIBRIO STABILE

punto ELLITTICO

& ,

Analogamente trova Istagl

d e queste

Equilibrio

- sistemi

Elitico

punto di

si soluzioni

Xo o e

= on

un delti NEUTRI

anche

( x

2 ELLITC

MSO STABILE

M I

: ,

= instabile sec

MCoi ,

- V(x)

exx) V"(x)

kix2 n(x xx3

VIx1 3xx

42 +

+ =

: =

= -

4 instabile

M

Xo SECh

per Punto

0 Di

> co

= -

= - ,

2 K" STABILE

1 ELLITTICO

PUNTO

: O

per -

M :

= ,

* globale

di locale

fare

Ritratto gragico

FISE

di e

· certo

: Vixi

POTENZIALE M

Wome V"(xic0

VIxolio e

per X 0

L

LOCALMENTE ABBIAMO

I MASSIMO

I

I Es 0

" =

I I

X

[v2

I V(x) 4)() +

+ V"

! -

I r(xo) o

Xo = >

(x01

per

" T

- T

2 localmente Minimo

↓ ha un

colore di dei

certo d limite

donne avrò

mi valori

energia

:+ +

ell'essex =

-ex X

<(XXS 0) Vi

liviti separatrice

della

: 0 = 0 =

: V :

-V(xi)

2(d

=> 2 vex) =

= S

i) : wox-3x3

VI wex

Sistema Dinamico

· X = v xx

wox

v = +

EQUILIBRIO

PUNTI

· =

vo 0

V Xo

= =

(x)

-we (Xo

wo(x 1x ) di ve)

2 equilibrio

punti 10

~ 01

- + = = ,

: (0)

(x0 vo) :

( x

STABILITA : M

· = x

V"(x)

r'(x1 1x2 wo" 2xX

Weix =

> -

= - + wo'do /Stabile)

punto Elitic

Xo =

per M =

= woco (INSTABILE

+ Preto SECC

D

per x M -

RITRATTO FASE

· DI V(x)n i S

X

I

va I

I

⑳ -

I

far

X

EXX3

ii) &Wox No

VIx woso

= - ,

PUNTI FISSI

CALCOLARE I

· Stabilita

Calcolare

· GLOBALE

FASE LOCALE

RITRATTO E

· S

Gia X = v

wax

= e

wo S

S X 0

EQUILIBRIO v

PUNTI di =

= v =

I

i XX

WoXo

Xx)

wox Xo 0

= 0 =

- =

- -

XX0)

Xo(Wol = 0

- o wo

Xo Vo O

, =

PUNTI EQUILIBRIO

2 Di Xo ,

wo vo

Calcoliano stabilità dei equilibrio

punti di

la (P)x

Metodo 1 M

: = x

= Woo 0

se =

(

= wo-x =

· woo woh

x -

xo =

/Xo Vol 10 0) /ELLITicos

Equilibrio Stabile

punto Di

=> = ,

, /Woo)

(D Vol (iperbolico

instabile

punto Equilibrio

, 2

METODO : / [

x fx(x v) m

v -

Anteprima

Vedrai una selezione di 17 pagine su 80