Esercizi di Meccanica razionale

Name: Esercizi di Meccanica razionale
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Author: stevengood_

Revisionato il 27/06/2026

di stevengood_

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Esercizi completi d'esame con soluzioni, corretti a ricevimento col prof. Demeio; esrcizi svolti a lezione e durante le esercitazioni.Tutti gli esercizi sono stati spiegati nei minimi …

Esame Meccanica razionale

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Demeio Lucio

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2019-2020

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Esempi notevoli del rombo e reazioni vincenti

Pendolo sferico

P = ₀ a = l (i₁sinθ + j₁cosθ) v = le (i₁cosθ + j₁sinθ) ã = [ė (i₁ cosθ + j₁sinθ) + θ̇² (-i₁sinθ + j₁cosθ)]

| Esercizio pendolo in meccanica con φ = φ (–i₁sinθ + j₁cosθ) φ_xii + φ_yjj⇒ mã = F + φx: mẍ = φ_x y: mÿ = φ_y - mg₀ z: ż = 0 → ȧ punto Px: l sinθ x: ėθ̇cosθ y: –l cosθ ẏ: lθ̇sinθ ẋ: l [ėθ̇cosθ + θ̇²sinθ] → ml [ėθ̇cosθ – θ̇²sinθ] = φ_x: duplicato x "cosθ" → ml [ėθ̇sinθ + θ̇²cosθ] = φ_y: duplicato y "sinθ"

→ mθ̇² + mg (cosθ): duplicato in entrambi → mlė = –mg₀sinθ → –ml [ ėθ̇cosθ + θ̇²sinθ ] = φ_y → ml [ ėθ̇sinθ + θ̇²cosθ ] = φ_x

→ mθ̇² - φ + mg₀cosθ Cond. iniziale: θ(0) = θ₀ φ(t) = π/2 Θ̇(t) = θ₀ = 0

Esempi notevoli pendolo semplice

P = O = ℓ(−_sin + _cos) ̇ = ℓ̇(−_cos + _sin) ̇ = −̇² _cos ̇ = ℓ(̈ _{(−_sin + _cos)} + x: _{̈ = −} y: _{̈ = _{(− )}} z: _{̇ = 0}

: ℓ _sin ̇ = ℓ̇ _cos: −ℓ _cos ̇ = ℓ̇ _sin _ℓℎ + _cos _ℓ̇² = − _cos ̈ = −_g/l _sin( = 0) = ₀, ̇( = 0) = 0

θ̈ + ϑ₀θ̇ sinθ^θ̇²/₂ − ϑ₀/_l cosθ = EE = T + V = ¹/₂ m u̇² + mϑẏ = ^ϑ₀/_l cosθ

U = −QW = 2Qϑψ²/₂ − ^ϑ₀/_l cosθ = θ̇²/₂ θ̇² = ψ² − 2^ϑ₀/_l cosθ = θ̇²

Φ = m (^lθ̇²/₂ + ϑ₀ cosθ) Φ = m (^2ϑ₀/₂ cosθ + ϑ₀ cosθ) → Φ = 3mϑ cosθ

Punto vincolato sulla superficie sferica

φ = φ_xi^ + φ_yj^ = φ(i^sinθ + j^cosθ) con θ = cost.

Eq. di rappresentazione x = R sinθ X = R sinθ y = R cosθ z = 0 Ẋ = R θ&dot;cosθ Ẏ = -R θ&dot;sinθ Ẍ = R [θ̈ cosθ - θ&dot;²sinθ] Ÿ = -R [θ̈ sinθ + θ&dot;²cosθ]

¦ x: m Ẍ = φ_x ¦ y: m Ÿ = φ_y - mg ¦ z: 0 = 0 m = 3l = 2 - 3m - m = 1

Ẋ: mR(θ̈ cosθ - θ&dot;²sinθ) = φ sinθ - mg cosθ Ẏ: mR (θ̈ sinθ + θ&dot;²cosθ) = φ cosθ + mg

θ&dot;₁ = θ&dot;θ = σ sinθ/R Ẋ: mR(θ̈ cosθ - θ&dot;²sinθ) = φ sinτ Ẏ: mR (θ̈ sinθ + θ&dot;²cosθ) = φ cosθ + mg sinθ

BQ Φ: -mR θ&dot;² = φ mg cosθ &Rightarrow; Φ = &pm;m[Rθ&dot;² + φ cosθ]

Ricorda θ&dot;²θ̈ = σθ&dot; sinθ = 0 ∫^t_d/dt(θ&dot;²/2) - σ_t d/dt σ(θ cosθ) = 0 θ&dot;²/2 + σ/⊂ dτ = EE = mRθ&dot;&Rightarrow; θ&dot;²/2 = VT

Cond. Iniziale θ(0) = 0 θ&dot;(0) = v₀/R -&differential; θ&dot;²/2 - v₀²/2R² σ + σ _&dd; θθ&dot;² - 2σθφ + v_r₂^˙2 = ₀²/²

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