Esercitazione Panieri di Economia politica 1

Economia politica I (A-E)

Docente: Matteo Picchio

A cura del dott. Michele Ubaldi

Esercitazione del 23 aprile 2026

Scelte ottimali di consumo per panieri di beni

Esercizio n. 9, dall’esame del 12/02/2025

1. La funzione di utilità di un consumatore è u(x₁, x₂) = 2ln x₁ + 3ln x₂, mentre il suo reddito è pari a Y = 1200 euro.

Dati i prezzi p₁ = 6 euro e p₂ = 6 euro, determinate le quantità acquistate dei due beni.

x₁^* = 80; x₂^* = 120.

Svolgimento

Utilizzando le proprietà dei logaritmi, è possibile ridefinire la funzione di utilità come segue:

u(x₁, x₂) = 2ln x₁ + 3ln x₂

= ln x₁² + ln x₂³

= ln(x₁²x₂³)

Dunque, l’argomento della funzione di utilità corrisponde ad una Cobb-Douglas.

Pertanto, il saggio marginale di sostituzione corrisponde a:

SMS = (∂u / ∂x₁) / (∂u / ∂x₂) = (2 / x₁) / (3 / x₂) = 2x₂ / 3x₁

Infine, impostando la soluzione di ottimizzazione si otterranno i livelli ottimi di consumo dei beni x₁ e x₂:

SMS = p₁ / p₂

2x₂ / 3x₁ = 1

x₂ = 3/2 x₁

Y = p₁x₁ + p₂x₂

1200 = 6x₁ + 6x₂

x₂ = 3/2 x₁

1200 = 6x₁ + 9x₁

1200 = 15x₁

x₁^* = 1200 / 15 = 80

x₂^* = 3/2 · 80 = 120

Esercizio n. 10, dall’esame del 06/09/2019

2. Le preferenze di un consumatore circa il consumo di due beni sono descritte dalla funzione di utilità u(x₁, x₂) = x₁x₂. Il suo reddito è pari a M = 16 euro. Inizialmente i prezzi dei due beni sono p₁ = 1 euro e p₂ = 4 euro.

Si calcolino le variazioni Δx₁ e Δx₂ di entrambe le quantità consumate, generate dal raddoppio del prezzo del bene 1 (si indichino correttamente i segni delle variazioni).

Δx₁ = −4; Δx₂ = 0.

Svolgimento

Inizialmente, le quantità di equilibrio corrispondono a:

SMS = p₁ / p₂

x₂ / x₁ = 1 / 4

x₁ = 4x₂

Y = p₁x₁ + p₂x₂

16 = x₁ + 4x₂

16 = 4x₂ + 4x₂

16 = 8x₂

x₂^* = 2

x₁^* = 4 · 2 = 8

Successivamente, a seguito del raddoppio del prezzo del bene 1 (p₁ = 2), le quantità di equilibrio saranno: