Matematica dolce - Volume 5 - Edizione 2018

3

Matematica C

Matematica dolce 5

Testo per il secondo biennio

della Scuola Secondaria di grado

II

Matematicamente.it

2017 Edizione - 2017

3

Matematica – Matematica dolce 5

C

Copyright © 2017 Matematicamente.it

Questo libro, eccetto dove diversamente specificato, è rilasciato nei termini della licenza Creative Commons Attribuzione – Condividi allo stesso modo 3.0 Italia (CC BY-SA 3.0), il cui testo integrale è disponibile al sito http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/it/legalcode.

Tu sei libero: di riprodurre, distribuire, comunicare al pubblico, esporre in pubblico, rappresentare, eseguire e recitare quest’opera, di modificare quest’opera, alle seguenti condizioni:

Attribuzione — Devi attribuire la paternità dell’opera nei modi indicati dall’autore o da chi ti ha dato l’opera in licenza e in modo tale da non suggerire che essi avallino te o il modo in cui tu usi l’opera.

Condividi allo stesso modo — Se alteri o trasformi quest’opera, o se la usi per crearne un’altra, puoi distribuire l’opera risultante solo con una licenza identica o equivalente a questa.

Per maggiori informazioni su questo particolare regime di diritto d’autore si legga il materiale informativo pubblicato su http://www.copyleft-italia.it.

C P Daniele Zambelli.

Coordinatori del progetto

A Leonardo Aldegheri, Elisabetta Campana, Luciana Formenti, Carlotta Gualtieri, Michele Perini, Maria Antonietta Pollini, Diego Rigo, Nicola Sansonetto, Andrea Sellaroli, Bruno Stecca, Daniele Zambelli.

Autori

H C Alberto Bicego, Alessandro Canevaro, Alberto Filippini.

Hanno collaborato

P I L TEX Dimitrios Vrettos.

Progettazione e implementazione in

C Claudio Carboncini, Silvia Cibola, Tiziana Manca, Michele Perini, Andrea Sellaroli,

Collaboratori

Daniele Zambelli.

Collaborazione, commenti e suggerimenti

C, Se vuoi contribuire anche tu alla stesura e aggiornamento del manuale Matematica - Algebra 1 o se vuoi inviare i tuoi commenti e/o suggerimenti scrivi a daniele.zambelli@istruzione.it.

3

0.0.9

Versione del documento: del 27 giugno 2017.

Stampa 2017: giugno 2017.

ISBN 9788899988067

Dati tecnici per l’adozione del libro a scuola

3

Titolo: Matematica, Matematica dolce 5 - 2017.

Codice ISBN: 9788899988067

Editore: Matematicamente.it.

Anno di edizione: 2017.

e

Prezzo: 0,00.

Formato: ebook (PDF).

Indice

Prefazione vii

Prefazione alla seconda edizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Prefazione all’edizione 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Prefazione all’edizione 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1 Funzioni

1.1 Definizione di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 La rappresentazione di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Le proprietà di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Le caratteristiche di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.2 Parità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.3 Periodicità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.4 Limitatezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 La classificazione delle funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Funzioni inverse, composte e uguali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Topologia della retta

2.1 La topologia della retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Gli intervalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Gli intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Insiemi limitati e illimitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Massimi, minimi ed estremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6 I punti di accumulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Iperreali

3.1 Alcune questioni importanti sui numeri in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 I numeri Iperreali e l’insieme R^* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1 Il problema della velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.2 Un nuovo insieme: gli Iperreali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.3 Tipi di Iperreali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.4 Iperreali finiti e parte standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.5 Retta Iperreale e strumenti ottici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.6 Operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.7 Confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

iii

iv Indice

3.2.8 Infinitamente vicini, indistinguibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.9 Postulato di Eudosso-Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.10 Principio di transfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.11 Tranfer e funzioni trascendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.1 Problemi con gli Iperreali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.2 Espressioni con gli Iperreali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Derivate

4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Velocità di caduta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3 Continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.4 Differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4.1 Differenziale e funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4.2 Combinare differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4.3 Problemi con i differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5 Introduzione alla derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5.1 Pendenza di una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.6 Derivata: definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.7 Derivare funzioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.8 Regole di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.9 Derivare funzioni composte e funzioni inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.9.1 Funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.9.2 Funzioni inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.10 Derivare funzioni trascendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.10.1 Derivata di f(x) = a^x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.10.2 Derivata di f(x) = log_a x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.10.3 Derivata di funzioni circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.11 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.11.1 Derivata e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.11.2 Derivata e normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.11.3 Derivata della derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.11.4 Derivata, differenza e differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.11.5 Sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.11.6 Applicazioni non solo matematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.12 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.12.2 Esercizi sulle derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.12.3 Problemi che coinvolgono l’uso della derivata . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5 Funzioni continue

5.1 Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2 Continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2.1 Definizione di continuità in un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2.2 Definizione di continuità in un intervallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Indice v

5.3 Massimi e minimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.4 Massimi e minimi: applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.5 Derivate e grafico di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.6 Proprietà delle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.6.1 Numeri iperinteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.6.2 Alcuni teoremi delle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6 Studio di funzioni

6.1 Descrizione del grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.1.1 Descrizione a parole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.2 Analisi della funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.2.1 Le prime caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.3 Comportamento asintotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.3.1 Comportamento agli estremi del campo di esistenza . . . . . . . . . . . . 139

6.3.2 Asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.3.3 Asintoti obliqui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.4 Andamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.4.1 Punti stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.4.2 Intervalli di monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.5 Concavità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.6 Altre caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7 Integrali

7.1 Un problema di area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.2 L’area sottesa ad una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.3 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.4 Somme di Riemann inferiore e superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.5 Proprietà degli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.5.1 Proprietà rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.5.2 Altre proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.5.3 Definizione di opposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.5.4 Proprietà additiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.6 Funzione integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.7 Teorema fondamentale dell’analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.7.1 Dimostrazione grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.7.2 Dimostrazione algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.8 Integrali indefiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.9 Calcolo dell’integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7.10.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7.10.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Prefazione

Ciao Daniele, ho appena inoltrato il tuo lavoro al mio professore,

3

lui apprezza molto il progetto Matematica C

e penso che la tua versione gli possa far comodo

soprattutto per i primi anni del nostro serale. 3

Già l’anno scorso ha tentato l’adozione ufficiale del normale,

ma, come precario, è riuscito a strappare solo una promessa,

promessa che verrà mantenuta solo se tra un paio di settimane

(quando inizierà per me e per lui la scuola) lo rivedrò in cattedra. 3

In ogni caso, che ci sia lui o no, proporrò lo stesso al coordinatore il progetto C,

“Software Libero, Conoscenza Libera, Scuola Libera”, giusto?

Buon lavoro,

Alice

Giusto, Alice.

La cosa importante è che il testo non sia considerato un oggetto scritto da altri, da un gruppo di professori più o meno strambi, ma sia una traccia. Una traccia lasciata sul terreno di un territorio sconosciuto, a volte inospitale a volte stupefacente.

Una traccia come quella scritta su una mappa del tesoro: un po’ bruciacchiata, consumata e piena di incrostazioni. A volte incomprensibile, con degli errori che portano fuori pista, a volte scritta male, con alcune parti mancanti oppure con alcune parti inutili che confondono.

Non seguire acriticamente la mappa, non fidarti del testo, leggilo con la penna in mano, correggi, cambia, cancella e aggiungi, parlane in classe.

Contribuisci alla sua evoluzione.

Grazie, ciao. 3 Diversi anni fa, Antonio Bernardo ha avuto il coraggio di coordinare un

Matematica C

gruppo di insegnanti che mettendo insieme le proprie competenze hanno creato un testo

3

Matematica

di matematica per il biennio dei licei scientifici: Matematica. Con grande generosità e

C Creative Commons

lungimiranza, il gruppo ha scelto di rilasciare il lavoro con una licenza Creative Commons libera. Questa licenza permette a chiunque di riprodurre l’opera e divulgarla liberamente, ma

3

Matematica

permette anche di creare altre opere derivate da Matematica.

C 3

Matematica

Questa versione modifica Matematica in modo da adattarlo

Specificità di questa versione C

ai programmi delle scuole diverse dal liceo scientifico. Nell’organizzazione del testo si è tenuto conto delle indicazioni ministeriali per la matematica dei licei.

Viene dato più spazio alla geometria nel piano cartesiano proponendo in prima: i punti, i segmenti, le figure; in seconda: le rette. Le trasformazioni geometriche sono proposte sotto forma di schede che guidano l’attività di laboratorio di matematica. Nei numeri naturali viene proposto l’uso di grafi ad albero nella soluzione delle espressioni e nella scomposizione in fattori dei numeri. Nelle disequazioni, il centro dell’attenzione è posto nello studio del segno di un’espressione.

Per quanto riguarda il tema dell’informatica, in prima viene presentato il foglio di calcolo e la geometria della tartaruga mentre in seconda, la geometria interattiva con l’uso di un linguaggio di programmazione e di una apposita libreria grafica. scelto

Questo manuale non vorrebbe essere adottato nel senso di essere dal collegio

Adozione adottato

docenti; vorrebbe essere nel senso di essere preso in carico, da insegnanti, alunni, famiglie, come un proprio progetto, bisognoso di cure e attenzioni. Ha senso adottarlo se siamo disposti a contribuire alla sua crescita. Si può contribuire in diversi modi: usando il testo o anche solo qualche capitolo, magari per supportare attività di recupero o per trattare temi non presenti nel libro di testo in adozione; segnalando errori, parti scritte male o esercizi non adeguati; proponendo cambiamenti alla struttura; scrivendo o riscrivendo parti del testo; creando esercizi; realizzando illustrazioni.

3

Matematica

Il progetto ha per obiettivo la realizzazione di un manuale di mate-

Obiettivi C

matica, per tutto il percorso scolastico e per ogni tipo di scuola, scritto in forma collaborativa

Creative Commons.

e con licenza Creative Commons. Seguendo l’esempio di questa versione, altri insegnanti, studenti, appassionati di matematica, potrebbero proporre delle modifiche per adattare il testo alle esigenze di altri percorsi scolastici. www.matematicamente.it

3

Matematica è scaricabile dal sito Matematica. Mentre il can-

Supporti C bitbucket.org/zambu/mc3_a1_dolce

tiere in cui si lavora a questa versione si trova in: e

bitbucket.org/zambu/mc3_a2_dolce.

È disponibile in formato elettronico PDF direttamente visualizzabile o stampabile. Sullo stesso sito sono disponibili i sorgenti in LaTeX, che ne permettono la modifica. I diversi volumi che compongono l’opera possono essere stampati, fotocopiati in proprio o stampati in tipografia per le sole parti che occorrono. Oppure può essere usato in formato elettronico su PC, netbook, tablet, smartphone.