Matematica dolce - Volume 4 - Edizione 2018

3

MATEMATICA C

MATEMATICA DOLCE 4 - LICEI

Testo per il secondo biennio

della Scuola Secondaria di grado

II

licei

Matematicamente.it

Edizione - 2017

3

Matematica – Matematica dolce 4 - licei

C

Copyright © 2017 Matematicamente.it

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vo pubblicato su .

C P Daniele Zambelli.

OORDINATORI DEL ROGETTO

A Leonardo Aldegheri, Elisabetta Campana, Luciana Formenti, Carlotta Gualtieri, Miche-

UTORI

le Perini, Maria Antonietta Pollini, Diego Rigo, Nicola Sansonetto, Andrea Sellaroli, Bruno Stecca,

Daniele Zambelli .

H C Alberto Bicego, Alessandro Canevaro, Alberto Filippini .

ANNO OLLABORATO

P I L TEX Dimitrios Vrettos.

A

ROGETTAZIONE E MPLEMENTAZIONE IN

C Claudio Carboncini, Silvia Cibola, Tiziana Manca, Michele Perini, Andrea Sellaroli,

OLLABORATORI

Daniele Zambelli .

C , Se vuoi contribuire anche tu alla stesura e aggiorna-

OLLABORAZIONE COMMENTI E SUGGERIMENTI

3

mento del manuale Matematica - Algebra 1 o se vuoi inviare i tuoi commenti e/o suggerimenti scrivi

C

daniele.zambelli@istruzione.it

a .

0.0.9

Versione del documento: del 27 giugno 2017.

Stampa 2017: giugno 2017.

ISBN 9788899988036

D ’

ATI TECNICI PER L ADOZIONE DEL LIBRO A SCUOLA

3

Titolo: Matematica , Matematica dolce 4 - licei -2017.

C

Codice ISBN: 9788899988036

Editore: Matematicamente.it.

Anno di edizione: 2017.

e

Prezzo: 0,00.

Formato: ebook ( ).

PDF Indice

Prefazione v

Prefazione alla seconda edizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Prefazione all’edizione 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Prefazione all’edizione 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

1 Complementi di algebra 1

1.1 Equazioni di grado superiore al secondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Equazioni che si possono risolvere tramite scomposizione . . . . . . . . 1

1.1.2 Equazioni monomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.3 Equazioni binomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.4 Equazioni trinomie particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Equazioni e disequazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Equazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Disequazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Equazioni con valori assoluti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Definizione di valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 La funzione “valore assoluto” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.3 Proprietà del valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.4 Equazioni con il valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.5 Disequazioni con i valori assoluti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Circonferenza 23

2.1 Circonferenza e cerchio: definizioni e prime proprietà . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Posizioni relative fra rette e circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1 Posizioni reciproche di due circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Angoli nelle circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Proprietà dei segmenti di tangenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5 Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6 Proprietà dei quadrilateri inscritti e circoscritti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.7 Poligoni regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.8.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 La circonferenza nel piano cartesiano 47

3.1 Circonferenza con il centro nell’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Circonferenza traslata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

iii

iv Indice

3.3 Equazione di una circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Circonferenze e rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5 Posizioni reciproche tra circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6.2 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Ellisse 63

4.1 Coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.1 Le sezioni coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2 L’ellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.1 L’ellisse come luogo geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.2 Le caratteristiche dell’ellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.3 L’ellisse con i fuochi appartenenti all’asse Y . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.4 Condizioni per determinare l’equazione dell’ellisse . . . . . . . . . . . . 69

4.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Iperbole 73

5.1 L’iperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.1 L’iperbole come luogo geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.2 Le caratteristiche dell’iperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1.3 L’iperbole con i fuochi sull’asse Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1.4 Condizioni per determinare l’equazione dell’iperbole . . . . . . . . . . . 76

5.1.5 L’iperbole equilatera e la funzione omografica . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6 Complementi sulle coniche 83

6.1 Le posizioni di una retta rispetto ad una conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2 Rette tangenti ad una conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.2.1 Tangenti per un punto esterno ad una conica . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.2.2 Tangente per un punto appartenente alla conica . . . . . . . . . . . . . . 86

6.3 Curve deducibili dalle equazioni delle coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7 Esponenziali e logaritmi 91

7.1 Un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.2 Esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.2.1 La successione delle potenze di 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.2.2 Le potenze di 2 con esponente reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.2.3 Le funzioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.2.4 Equazioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.2.5 Le disequazioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.3 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.3.1 Le operazioni inverse e la potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Indice v

7.3.2 Le equazioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.3.3 Le disequazioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8 Calcolo combinatorio 113

8.1 Il calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.2 Permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.3 Permutazioni con ripetizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.4 Disposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.5 Disposizioni con ripetizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.6 Combinazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.7 Combinazioni con ripetizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9 Probabilità 121

9.1 Eventi aleatori, certi e impossibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.2 La probabilità di un evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

9.3 Probabilità dell’unione di due eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.3.1 Unione di due eventi incompatibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9.3.2 Unione di due eventi tra loro compatibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9.4 La probabilità dell’evento intersezione di due eventi . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9.4.1 Intersezione di due eventi tra loro indipendenti . . . . . . . . . . . . . . 127

9.4.2 Intersezione di due eventi tra loro dipendenti . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.4.3 Interpretazione insiemistica della probabilità condizionata . . . . . . . . 132

9.5 Teorema di disintegrazione e formula di Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.5.1 Teorema di disintegrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.5.2 Formula di Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.6 Prove ripetute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.7 Probabilità e statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.8.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

10 Matematica finanziaria 147

10.1 Interesse semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

10.2 Interesse composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

10.3 Capitalizzazione composta continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.3.1 Tassi equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.4 Rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.4.1 Valore attuale delle rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

10.4.2 Montante delle rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

10.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

11 Geometria cartesiana dello spazio 155

vi Indice

11.1 Punti e vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11.2 Operazioni con i vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11.3 Retta (forma parametrica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11.4 Piano (forma parametrica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

11.5 Piano (forma cartesiana) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

11.6 Retta (forma cartesiana) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

11.7 Da forma cartesiana a implicita (e viceversa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11.8 Posizioni reciproche tra rette e piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11.9 Distanza punto-piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

11.10Sfere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

11.11Esempi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

11.12Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

11.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Prefazione

Ciao Daniele, ho appena inoltrato il tuo lavoro al mio professore,

3

lui apprezza molto il progetto Matematica C

e penso che la tua versione gli possa far comodo

soprattutto per i primi anni del nostro serale. 3

Già l’anno scorso ha tentato l’adozione ufficiale del normale,

C

ma, come precario, è riuscito a strappare solo una promessa,

promessa che verrà mantenuta solo se tra un paio di settimane

(quando inizierà per me e per lui la scuola) lo rivedrò in cattedra. 3

In ogni caso, che ci sia lui o no, proporrò lo stesso al coordinatore il progetto ,

C

“Software Libero, Conoscenza Libera, Scuola Libera”, giusto?

Buon lavoro,

Alice

Giusto, Alice.

La cosa importante è che il testo non sia considerato un oggetto scritto da altri, da un gruppo

di professori più o meno strambi, ma sia una traccia. Una traccia lasciata sul terreno di un

territorio sconosciuto, a volte inospitale a volte stupefacente.

Una traccia come quella scritta su una mappa del tesoro: un po’ bruciacchiata consumata e

piena di incrostazioni. A volte incomprensibile, con degli errori che portano fuori pista, a

volte scritta male, con alcune parti mancanti oppure con alcune parti inutili che confondono.

Non seguire acriticamente la mappa, non fidarti del testo, leggilo con la penna in mano,

correggi, cambia, cancella e aggiungi, parlane in classe.

Contribuisci alla sua evoluzione.

Grazie, ciao. 3 Diversi anni fa, Antonio Bernardo ha avuto il coraggio di coordinare un

Matematica C

gruppo di insegnanti che mettendo insieme le proprie competenze hanno creato un testo

3

Matematica

di matematica per il biennio dei licei scientifici: . Con grande generosità e

C Creative Commons

lungimiranza, il gruppo ha scelto di rilasciare il lavoro con una licenza

libera. Questa licenza permette a chiunque di riprodurre l’opera e divulgarla liberamente, ma

3

Matematica

permette anche di creare altre opere derivate da .

C 3

Matematica

Questa versione modifica in modo da adattarlo

Specificità di questa versione C

ai programmi delle scuole diverse dal liceo scientifico. Nell’organizzazione del testo si è tenuto

conto delle indicazioni ministeriali per la matematica dei licei.

Viene dato più spazio alla geometria nel piano cartesiano proponendo in prima: i punti, i

segmenti, le figure; in seconda: le rette. Le trasformazioni geometriche sono proposte sotto

forma di schede che guidano l’attività di laboratorio di matematica. Nei numeri naturali viene

proposto l’uso di grafi ad albero nella soluzione delle espressioni e nella scomposizione in

vii

viii Prefazione

fattori dei numeri. Nelle disequazioni, il centro dell’attenzione è posto nello studio del segno

di un’espressione.

Per quanto riguarda il tema dell’informatica, in prima viene presentato il foglio di calcolo

e la geometria della tartaruga mentre in seconda, la geometria interattiva con l’uso di un

linguaggio di programmazione e di una apposita libreria grafica. scelto

Questo manuale non vorrebbe essere adottato nel senso di essere dal collegio

Adozione adottato

docenti; vorrebbe essere nel senso di essere preso in carico, da insegnanti, alunni,

famiglie, come un proprio progetto, bisognoso di cure e attenzioni. Ha senso adottarlo se

siamo disposti a contribuire alla sua crescita. Si può contribuire in diversi modi: usando il

testo o anche solo qualche capitolo, magari per supportare attività di recupero o per trattare

temi non presenti nel libro di testo in adozione; segnalando errori, parti scritte male o esercizi

non adeguati; proponendo cambiamenti alla struttura; scrivendo o riscrivendo parti del testo;

creando esercizi; realizzando illustrazioni.

3

Matematica

Il proge