Svolgimento guidato degli esercizi per lo scritto Algebra lineare e matematica discreta

Guida rapida allo svolgimento degli esercizi di algebra lineare e matematica discreta

Sistema lineare a parametro K

1. Forma matriciale completa (A|b)

Dato un sistema lineare lo convertiamo in forma Matriciale Completa (A|b) considerando:

• A la parte di sinistra, nonché Matrice dei Coefficienti.
• b la parte di destra, nonché Vettore dei Termini Noti.

2. Riduzione a scala (eliminazione di Gauss)

Applichiamo l’eliminazione di Gauss sulla matrice completa (A|b), mantenendo K come parametro simbolico.

Questo ci permette di analizzare tutti i possibili casi in funzione di K.

3. Determinante della matrice A

SOLO SE A è una matrice quadrata, calcoliamo il determinante det(A) usando uno tra i seguenti metodi:

• Gli Sviluppi di La Place con i minori.
• Moltiplicando i Pivot (elementi sulla diagonale principale) della forma a scala (ricordando di considerare il segno, per cui: ogni scambio di riga comporta un cambio di segno nel determinante ottenuto da tale moltiplicazione. Funziona allo stesso modo l’uso della normalizzazione, ma piuttosto che moltiplicare il determinante per al termine dovremo moltiplicarlo per Elimino -2 con Rn = -1/2( − 1) ⋅ det(�), � ⋅ det(�). (es. Rn allora moltiplico il det per -1/2).

4. Valori critici di K

Poniamo det(A) = 0 e troviamo i valori critici di K da analizzare successivamente.

Per tutti gli altri valori di K (ovvero det(A) ≠ 0), il sistema ammette una unica soluzione (Teorema di Cramer).

5. Analisi del caso generico (K ≠ valori critici)

Analizziamo adesso il caso K ≠ tutti i valori critici per cui il sistema è compatibile e determinato dato det(a)≠0 (unica soluzione):

• (Numero di incognite) → Teorema di Rouché-Capelli ���(�) = ���(�|�) = �
• Si può procedere con la risoluzione esplicita (ad esempio tramite sostituzione all’indietro o metodi alternativi) mantenendo il generico K.

Potremmo poi voler verificare un K specifico come verifica ulteriore (ma superflua). In tal caso procediamo ponendo in analisi k con un qualsiasi K (se ammesso conviene k=1).

6. Analisi dei casi critici

Per ciascun valore critico (K=n) con det=0 si avranno infinite o nessuna soluzione:

• Sostituiamo K nella matrice completa.
• Completiamo la riduzione a scala qualora non lo avessimo già fatto. Altrimenti usiamo direttamente la matrice a scala per la sostituzione dei valori semplificando i passaggi.
• Applichiamo il Teorema di Rouché-Capelli confrontando i ranghi A e A|b:
• Se Rnk(A) ≠ Rnk(A|b) → Sistema Incompatibile / Impossibile (nessuna soluzione).
• Se Rnk(A) = Rnk(A|b) → Sistema Compatibile.
• Rnk(A) < N_Incognite → (Dove N sta per le colonne nella matrice dei coefficienti (di sx) descritta come (M)m n)x Se il rango è minore del numero di incognite → sistema indeterminato (infinite soluzioni =∞ elevato alla ( n_var - rnk(a|b) )).
• Rnk(A) = N_Incognite → (Dove N sta per le colonne nella matrice (M) m n)x Se il rango è uguale al numero di incognite → sistema determinato (unica soluzione)! Per essere diretti una e una sola soluzione si ha se rnk(A)=rnk(A|b)=n_incognite.
• Risolvo per Kn il sistema lineare arrivando a una soluzione vettoriale valida.

Trasformazione/applicazione lineare Rⁿ → Rᵐ

1. Matrice associata a T (rispetto alle basi canoniche)

Data una trasformazione lineare T: Rⁿ → Rᵐ del tipo T(x₁, x₂, x₃) = (... , ... , ...).

Iniziamo osservando la forma dell’applicazione lineare da un punto di vista teorico per ottenere quante più informazioni utili possibili.

Nel farlo analizziamo il tipo di trasformazione per anticipare alcuni concetti valutando dominio di partenza R e condominio di arrivo R .m

Se R < Rᵐ (per dimensione) allora non sarà mai suriettiva ma potrebbe essere iniettiva e, se lo è, si dice nmonomorfismo.

Se R > Rᵐ (per dimensione) allora non sarà mai iniettiva ma potrebbe essere suriettiva e, se lo è, si dice nepimorfismo.

Se R = Rᵐ (per dimensione) allora si dice endomorfismo e, se sia suriettiva che iniettiva (biettiva) si dirà nautomorfismo.

Si costruisce la matrice associata rispetto alle basi canoniche di Rⁿ e Rᵐ.

Si applica T ai vettori della base canonica di Rⁿ:

• T(1, 0, 0) → Primo vettore immagine.
• T(0, 1, 0) → Secondo vettore immagine.
• T(0, 0, 1) → Terzo vettore immagine.

I vettori ottenuti (T₁, T₂, T₃) si dispongono come colonne della matrice A associata a T.

La matrice A rappresenta T rispetto alle basi canoniche. Essa è a tutti gli effetti immagine di T.

Possiamo ora dunque calcolare la matrice ridotta a scala per osservare il rnk(A) che tornerà utile a breve.

2. [Nucleo - Dimensione] Dimensione del nucleo di T (nullità)

Si applica il Teorema del Rango (o delle Dimensioni): Dim(Rⁿ) = Dim(Ker(T)) + Dim(Img(T))

Da cui si ricava: Dim(Ker(T)) = Dim(Rⁿ) − Dim(Img(T))

La dimensione dell’immagine di T coincide con il rango della matrice A, cioè: Dim(Img(T)) = Rnk(A)

Il rango può essere stimato come: Rnk(A) ≤ Min(row_number, col_number) e poi confermato come il numero di pivot nella forma ridotta a scala di A. Ricordiamo che i pivot sono i primi elementi NON NULLI di ogni riga NON NULLA.

3. [Nucleo - Base] Base del nucleo di T

Per trovare una base del nucleo (Ker(T)):

• Si risolve il sistema omogeneo dove �·� = 0, � = (�, �, �, . . . )
• Si riduce la matrice A in forma a scala tramite eliminazione di Gauss (dovremmo averlo già fatto).
• Si identificano le variabili libere, assegnando parametri (es. t, s, ...)
• Si esprime la soluzione generale come combinazione lineare dei vettori associati ai parametri.
• La base del nucleo è data dai vettori che generano lo spazio delle soluzioni: ����(���(�)) = {�₁, �₂, . . . }
• Ovviamente: Se dim(Ker(T))=0 allora la base avrà soltanto il vettore nullo per cui avremo ker(�) = {0} nonché → Implica che A sia Iniettiva ����(���(�)) = {}.

4. [Immagine - Dimensione] Dimensione dell’immagine di T

La dimensione dell’immagine di T è: Dim(Img(T)) = Rnk(A).

Il rango si ottiene contando i pivot nella forma ridotta a scala della matrice A per cui: ���(���(�)) = ������������� = ���(�) ≤ ���(��� �����, ��� �����).� �� Se → Implica che A sia Suriettiva dim(���(�)) = dim(� )

5. [Immagine - Ba