Matematica per biologia: formulario salva-esame + temi d'esame 2025/2026 svolti

Formulario matematica per biologia

Guida completa alla risoluzione degli esercizi

Indice degli argomenti

• Campo di esistenza (3 pt)
• Crescita/decrescita esponenziale — popolazioni (3 pt)
• Concentrazioni (3 pt)
• Scala logaritmica (3 pt)
• Segno della funzione (3 pt)
• Media e mediana (2–3 pt)
• Continuità e parametri (2 pt)
• Limiti per x → +∞ (3 pt)
• Polinomio di Taylor e McLaurin (2–3 pt)
• Integrali indefiniti e definiti (2–3 pt)
• Limiti per x → 0 (Forme indeterminate) (2–3 pt)
• Punti di flesso (3 pt)
• Estremi relativi (3 pt)
• Convessità / concavità (3 pt)

1. Campo di esistenza

Le 4 regole d'oro

Procedura (4 passi)

• Identifica ogni 'pericolo' nella funzione (frazioni, radici, logaritmi).
• Scrivi il SISTEMA di condizioni (tutte devono valere contemporaneamente).
• Risolvi ogni disequazione separatamente con la tabella dei segni.
• Prendi l'INTERSEZIONE: gli x che soddisfano TUTTE le condizioni insieme.

Esame 29 gen 2026

f(x) = ln(200−2x²) − √(1/(x²−9))

Condizioni:

[1] Logaritmo: 200 − 2x² > 0 → x² < 100 → −10 < x < 10

[2] Radice pari: 1/(x²−9) ≥ 0 → x²−9 > 0 (1 > 0, denom > 0)

→ x² > 9 → x < −3 oppure x > 3

[3] Frazione denominatore: x²−9 ≠ 0 → x ≠ ±3 (già escluso da [2])

Intersezione di (−10,10) e (−∞,−3)∪(3,+∞):

Dominio = (−10, −3) ∪ (3, 10)

Esame 9 set 2025

g(x) = 1/ln(|x−6|−2)

Condizioni:

[1] Argomento log > 0: |x−6| − 2 > 0 → |x−6| > 2

→ x−6 > 2 oppure x−6 < −2 → x > 8 oppure x < 4

[2] Denominatore ≠ 0: ln(|x−6|−2) ≠ 0 → |x−6|−2 ≠ 1 → |x−6| ≠ 3

→ x ≠ 9 e x ≠ 3

Dominio = (−∞, 3) ∪ (3, 4) ∪ (8, 9) ∪ (9, +∞)

Esame 26 feb 2026

f(x) = ln(|x²−9| / arctan(x−2))

Condizioni:

[1] Argomento log > 0: |x²−9| / arctan(x−2) > 0

|x²−9| ≥ 0 sempre, e = 0 solo se x = ±3

Quindi serve: arctan(x−2) > 0 e |x²−9| > 0

→ arctan(x−2) > 0 → x−2 > 0 → x > 2

Oppure entrambi negativi: arctan(x−2) < 0 → x < 2 e |x²−9| < 0 (impossibile!)

[2] Denominatore ≠ 0: arctan(x−2) ≠ 0 → x ≠ 2

[3] |x²−9| ≠ 0 → x ≠ ±3

Dominio = (2, 3) ∪ (3, +∞)

ATTENZIONE: arctan(0) = 0, quindi se arctan(g(x)) è a denominatore devi imporre g(x) ≠ 0!

ATTENZIONE: L'esponenziale e^ax è SEMPRE > 0 per ogni a e ogni x: non crea mai problemi al denominatore!

ATTENZIONE: Il valore assoluto |A| è SEMPRE ≥ 0: crea problemi solo se è a denominatore (imponi A ≠ 0).

2. Crescita / decrescita esponenziale — popolazioni

Formule chiave

P(t) = P₀ · r^t (r = fattore di crescita per unità di tempo)

Se la popolazione RADDOPPIA ogni T anni: r = 2^(1/T)

Se la popolazione si DIMEZZA ogni T anni: r = (1/2)^(1/T) = 2^(−1/T)

Se cresce del α% ogni anno: r = (1 + α/100)

Se decresce del α% ogni anno: r = (1 − α/100)

Procedura — trovare quando due popolazioni si eguagliano

• Scrivi l'equazione per ciascuna popolazione: P₁(t) = P₀₁ · r₁^t, P₂(t) = P₀₂ · r₂^t.
• Imposta l'equazione P₁(t) = P₂(t) → P₀₁ · r₁^t = P₀₂ · r₂^t.
• Dividi: (r₁/r₂)^t = P₀₂/P₀₁ →
• Applica il logaritmo: t · ln(r₁/r₂) = ln(P₀₂/P₀₁) → t = ln(P₀₂/P₀₁) / ln(r₁/r₂).

Esame 24 giu 2025

Trote (si dimezzano ogni 4 anni) vs Salmoni (raddoppiano ogni 3 anni)

Trote: T(t) = 4000 · (1/2)^(t/4) = 4000 · 2^(−t/4)

Salmoni: S(t) = 250 · 2^(t/3)

Equazione: 4000 · 2^(−t/4) = 250 · 2^(t/3)

→ 4000/250 = 2^(t/3) · 2^(t/4) = 2^(t/3 + t/4) = 2^(7t/12)

→ 16 = 2^(7t/12) → 2⁴ = 2^(7t/12) → 4 = 7t/12

→ t = 48/7 ≈ 6.857 anni

Caso: anni dispari / anni pari con tassi diversi

Schema: applicare il fattore corretto per ogni singolo anno.

Esempio: popolazione che in ogni anno dispari quadruplica, in ogni anno pari si riduce del 75%.

Anno dispari: quadruplica ×4

Anno pari: −75% ×(1−75/100) = ×0.25 = ×(1/4)

Dopo 2 anni (1 dispari + 1 pari): P₀ × 4 × (1/4) = P₀ (ritorna al valore iniziale!)

Dopo 5 anni: P₀ × 4 × (1/4) × 4 × (1/4) × 4 = P₀ × 4

Per t = 5.5 anni: durante il 6° anno (pari, decrescente con tasso costante)

Tasso pari: ×(1/4) per 1 anno intero. Per 0.5 anni: ×(1/4)^0.5 = ×(1/2)

Esame 29 gen 2026

Fenicotteri: P(0)=400, anni dispari ×4, anni pari ×(1/4)

Dopo 1 anno (dispari): 400 × 4 = 1600

Dopo 2 anni (pari): 1600 × (1/4) = 400 ← torna a 400

Dopo 3 anni (dispari): 400 × 4 = 1600

Dopo 4 anni (pari): 1600 × (1/4) = 400

Dopo 5 anni (dispari): 400 × 4 = 1600

Dopo 5.5 anni: siamo nel 6° anno (pari), a metà strada.

Tasso pari costante: moltiplicatore per anno = 1/4 = 4^(−1)

Per 0.5 anni: (1/4)^(0.5) = 1/2

P(5.5) = 1600 × (1/2) = 800

3. Concentrazioni

Concentrazione % = (massa soluto / massa soluzione) × 100

massa soluzione = massa soluto + massa solvente

Mescolanza: c₁ · m₁ + c₂ · m₂ = c_mix·(m₁ + m₂)

dove c₁, c₂ sono le concentrazioni in forma decimale (es. 16% → 0.16)

Procedura

• Identifica le incognite (concentrazioni o masse da trovare).
• Scrivi l'equazione del bilancio del soluto: somma(cᵢ · mᵢ) = c_finale · m_totale.
• Se ci sono 2 incognite, scrivi un sistema di 2 equazioni.
• Risolvi il sistema.

Esame 8 lug 2025

Aggiungere soluzione al 16% ad 8000g al 10% per ottenere 12%

Siano: m₁ = 8000g (10%), m₂ = ? (16%), c_finale = 12%

Bilancio del soluto:

0.10 · 8000 + 0.16 · m₂ = 0.12 · (8000 + m₂)

800 + 0.16·m₂ = 960 + 0.12·m₂

0.04·m₂ = 160

m₂ = 4000 g

Esame 12 feb 2026

Sistema: 800g S₁ + 200g S₂ = 16% e 600g S₁ + 400g S₂ = 22%

Siano c₁ e c₂ le concentrazioni (in %) di S₁ e S₂.

{ 800·c₁ + 200·c₂ = 16·1000 → 4c₁ + c₂ = 80

{ 600·c₁ + 400·c₂ = 22·1000 → 3c₁ + 2c₂ = 110

Dalla prima: c₂ = 80 − 4c₁

Nella seconda: 3c₁ + 2(80 − 4c₁) = 110 → 3c₁ + 160 − 8c₁ = 110

−5c₁ = −50 → c₁ = 10%, c₂ = 40%

4. Scala logaritmica

Procedura log-log

• Sostituisci X = log₁₀(x) e Y = log₁₀(y) nell'equazione.
• Applica le proprietà dei logaritmi: log(a·bⁿ) = log(a) + n·log(b).
• Ottieni una retta Y = m·X + q dove m è la pendenza e q l'intercetta.

Esame 8 lug 2025

y = 100x⁴ (scala log-log)

Y = log₁₀(y), X = log₁₀(x)

log₁₀(y) = log₁₀(100x⁴) = log₁₀(100) + log₁₀(x⁴) = 2 + 4·log₁₀(x)

Y = 4·X + 2

(retta con pendenza 4 e intercetta 2)

Esame 12 feb 2026

y = 7/x^(1/7) (scala log-log)

y = 7 · x^(−1/7)

Y = log₁₀(7 · x^(−1/7)) = log₁₀(7) + (−1/7)·log₁₀(x)

Y = −(1/7