Formulario di Misure elettriche

Fondamenti di Telecomunicazioni

Appunti delle Lezioni di Fondamenti di Telecomunicazioni

Anno Accademico: 2023/24

Giacomo Sturm

Dipartimento di Ingegneria Civile, Informatica e delle Tecnologie Aeronautiche

Università degli Studi “Roma Tre”

Sorgente del file LaTeX disponibile al seguente link:

https://github.com/00Darxk/Fondamenti-di-Telecomunicazioni

Fondamenti di Telecomunicazioni - Università degli Studi “Roma Tre”

Indice

1 Introduzione 1

2 Rappresentazione di Segnali Canonici 3

2.1 Segnali a Tempo Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Seno Cardinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.2 Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.3 Gradino Periodico o Onda Quadra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.4 Esponenziale Complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.5 Esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.6 Finestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.7 Triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.8 Gradino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.9 Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.10 Esponenziale Unilatero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.11 Costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.12 Segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.13 Operazioni sui Segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.14 Energia e Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Segnali a Tempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Gradino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.2 Esponenziale Unilatero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.3 Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.4 Impulso Matematico Tempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.5 Energia e Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Convoluzione e Correlazione 14

3.1 Impulso Matematico Tempo Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.2 Convoluzione Tempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Sistema Ingresso-Uscita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.5 Convoluzioni Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5.1 Convoluzione tra Due Gaussiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5.2 Convoluzione a Media Mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Serie di Fourier 25

4.1 Spazio Vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 Proprietà della Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.1 Linearità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.2 Traslazione nel Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.3 Traslazione in Frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

I

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4.2.4 Teorema della Modulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.5 Teroema della Derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.6 Teorema di Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Serie Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Segnali Reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Trasformata di Fourier 37

5.1 Proprietà della Trasformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.1.1 Proprietà di Linearità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.1.2 Proprietà di Dualità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.3 Proprietà di Scala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.4 Traslazione nel Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1.5 Traslazione in Frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1.6 Proprietà della Modulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1.7 Teorema della Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1.8 Teorema di Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1.9 Proprietà della Derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1.10 Proprietà Duale della Derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.11 Proprietà dell’Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.12 Proprietà del Coniugato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.13 Proprietà della Correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 Trasformate Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3 Funzione di Trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.4 Filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.5 Trasformata di Segnali Reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.6 Trasformata di Segnali Periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 Trasformata di Fourier Tempo Discreto 54

6.1 Proprietà della Trasformata Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.1.1 Proprietà del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.1.2 Traslazione nel Tempo ed in Frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.1.3 Teorema della Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.1.4 Convoluzione Circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.1.5 Teorema di Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.1.6 Teorema della Correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.2 Trasformate Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3 Campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.4 Densità Spettrale di Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.5 Teorema del Campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

II

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7 Fenomeni Aleatori 69

7.1 Teoria della Probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.2 Variabili Aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.3 Statistiche Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.4 Variabili Aleatorie Dipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.5 Parametri Statistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.6 Variabili Aleatorie Bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.7 Processi Aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.7.1 Processo Armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.7.2 Processi Stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.7.3 Processo Ergodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.7.4 Rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.7.5 Sistema Con e Senza Memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8 Sistemi di Telecomunicazione 94

8.1 Processo di Quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.2 Codifica di Sorgente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.2.1 Codifica di Huffman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.2.2 Primo Teorema di Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.3 Codifica di Linea in Banda Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.3.1 Codifica PAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.3.2 Effetto del Rumore sul Canale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.3.3 Filtro Adattato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.4 Codifica di Linea in Banda Passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.4.1 Modulazione ASK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.4.2 Modulazione QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.4.3 Modulazione PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.5 Secondo Teorema di Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.5.1 Codifica di Hamming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

III

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1 Introduzione

Un segnale è definito come una qualsiasi grandezza fisica che varia nel tempo in maniera determi-

nistica o aleatoria. Può essere un’onda di pressione come la voce, o un onda elettromagnetica come

segnali wireless e bluetooth. Un segnale è in grado di contenere informazioni come una sequenza

di bit. Generalmente un segnale analogico viene convertito in digitale come un segnale elettrico

tramite un trasduttore, per facilitare il processamento, per poi essere riconvertito in analogico; al-

cuni segnali sono creati direttamente in digitale. Un segnale è definito dalla sua banda, o spettro

di banda, che ne determina la capacità di trasmettere informazione. L’ occupazione in frequenza

di un segnale è analoga al numero di bit di un dato digitale.

Un segnale comune è il segnale voce, definito da un’onda di pressione, per cui è sempre stretta-

mente positivo. Questo segnale è analogico, quindi continuo, ed il suo valore è noto in ogni istante

di tempo e si identifica come

t, x(t). x(t) t

Campionando un segnale analogico si crea un segnale digitale, considerando prima alcune con-

dizioni definite dal teorema del campionamento. Per campionare un segnale si estraggono valori, o

campioni, dal segnale analogico ogni intervallo . Il segnale cosı̀ ottenuto è un segnale discreto

T x n

o che presenta un valore ogni multiplo del tempo di campionamento scelto.

x[n], T

:= )

{x(n · ∀n ∈

x[n] T N}

x[n] t

T 2T 3T 4T 5T

1

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Questi valori vengono poi convertiti in digitale assegnando un certo numero di bit per rap-

presentare l’intervallo massimo di valori descritti dal segnale. Questo processo viene chiamato

quantizzazione, si divide l’intervallo dei valori in piccoli intervalli ognuno con un univoco valore in

bit, in modo da convertire tutti i valori in quell’intervallo in una sequenza di bit. Aumentando il

numero di bit, quindi il numero di suddivisioni dell’intervallo di partenza, aumenta la precisione,

ma aumenta anche il costo per processare lo stesso segnale. Dopo aver convertito tutti i valori in

una sequenza di bit, questo segnale in bit viene tramesso, ed in seguito decodificato in analogico.

Spesso i segnali vengono creati in digitale, per cui non è necessario campionare un segnale analogico.

Campionando un segnale si perdono le informazioni contenute tra i campioni, ma è possibile

applicare filtri e trasformazioni in digitale utili da giustificare questa perdita di informazioni, per

cui la maggior parte dei segnali vengono trasmessi in digitale.

I segnali possono essere classificati in certi (deterministici) o aleatori (non deterministici). I

segnali certi sono segnali di cui è noto tutto l’andamento, come file salvati su un supporto, per cui

non è necessario trasmetterli. Mentre i segnali aleatori non sono noti a priori e vengono studiati

dal punto di vista della statistica.

In generale un sistema di trasmissione di segnali è formato da un trasmettitore che processa e

codifica il segnale, un canale che lo trasmette, ed un ricevitore che lo decodifica:

T R

Canale

x x

2

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2 Rappresentazione di Segnali Canonici

2.1 Segnali a Tempo Continuo

Vengono definiti in questa sezione una serie di segnali canonici, e le operazioni attuabili su questo

tipo di segnali:

2.1.1 Seno Cardinale sin(πt)

= sinc(t) := (2.1.1)

x(t) πt

Questo segnale si attenua asintoticamente come 1/t: 1

1 sinc(t)

≤ ≤

− t t

Viene incluso il fattore nell’argomento in modo che la funzione si annulli per ogni valore intero:

π sinc(t) = 0 ∀t ∈ Z

x(t)

1

−3 −1 1 3 t

−2 0 2

2.1.2 Coseno 2πt

(2.1.2)

= cos

x(t) T

Il parametro rappresenta il periodo della funzione, per cui il valore della funzione ad un certo

T

valore corrisponde al valore in :

−

t t T (t) = (t + ) (2.1.3)

f f T

Invece del periodo si può usare la frequenza , inverso del periodo.

f 0 3

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x(t)

1

T T

− 2 2 t

0

T T

− 4 4

−1

2.1.3 Gradino Periodico o Onda Quadra

x(t)

1 t

0 T T T + T 2T

1 1

2.1.4 Esponenziale Complesso 2πt

2πt

2πt + sin (2.1.4)

= = cos

i i

x(t) e T T T

Un segnale complesso può essere analizzato mediante la sua fase ed il suo modulo in funzione

del tempo: = exp (

|x(t)|

x(t) x(t))

Dato che la fase è periodica si può rappresentare come una serie di rampe.

|x(t)| x(t)

1 2π

t t

0 0 T 2T 3T

(a) Modulo (b) Fase

4

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2.1.5 Esponenziale = (2.1.5)

−αt ∈

x(t) e , α R

x(t) x(t)

1 1

t t

0 0

α < α >

(c) 0 (d) 0

2.1.6 Finestra  T T

1 − ≤

 t<

 2 2



t 

= rect := (2.1.6)

x(t) T

T

T 0 ∧ ≥

−

 t

t<

 2 2





viene chiamata base della finestra. Questo segnale presenta una discontinuità di salto per

T

= La funzione finestra viene usata quando si vuole analizzare solo una parte di un segnale,

±T

t /2.

poiché il restante sarà pari a 0. La trasformata di questa funzione rappresenta un filtro in frequenza.

x(t)

1 t

0

T T

− 2 2

2.1.7 Triangolo (

1

− |t| −T ≤ t < T

t

= tri := (2.1.7)

x(t) 0

T −T ∧ ≥

t < t T

5

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x(t)

1 t

0

−T T

2.1.8 Gradino (

1 0

≥

t (2.1.8)

= :=

x(t) u(t) 0 0

t<

x(t)

1 t

0

2.1.9 Gaussiana 2

= (2.1.9)

−αt +

∈

x(t) e α R

La larghezza della campana centrale dipende dal fattore Nello studio delle probabilità, si usa

α.

la sua forma normalizzata: 1 2

t

−

= √

x(t) e 2

2σ

2πσ

Il valore rappresenta la deviazione standard, mentre il suo quadrato descrive la varianza.

2

σ σ

x(t)

1 t

0

6

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2.1.10 Esponenziale Unilatero = (2.1.10)

−αt +

· ∈

x(t) e u(t) α R

x(t)

1 t

0

2.1.11 Costante = (2.1.11)

x(t) a

x(t)

a t

0

2.1.12 Segno ( 1 0

t>

= sign(t) := (2.1.12)

x(t) 0

−1 t<

x(t)

1 t

0

−1 7

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2.1.13 Operazioni sui Segnali

Le operazioni sui segnali vengono computate istante per istante. L’operazione di somma produce

un segnale tale che ogni valore che assume equivale alla somma di altri due segnali e

z(t), x(t) y(t)

nello stesso istante: = +

z(t) x(t) y(t)

Analogamente si considera l’operazione prodotto, come un prodotto istante per istante tra i due

segnali: = ·

z(t) x(t) y(t)

L’operazione di ribaltamento corrisponde ad una riflessione della funzione lungo l’asse delle

ascisse di un segnale tramite una sostituzione di variabile → −t:

x(t) t

=

z(t) x(−t)

Quest’operazione non produce risultati per segnali pari, poiché presentano la proprietà =

x(t) x(−t).

Tramite l’operazione di ribaltamento si può esprimere il segnale segno come la differenza di due

gradini: sign(t) = −

u(t) u(−t)

L’operazione di traslazione, sposta un segnale lungo l’asse delle ascisse di un fattore :

x(t) τ

= )

−

z(t) x(t τ

L’operazione di cambio di scala corrisponde ad un rimpicciolimento o allargamento di un segnale

di un fattore ∈

x(t) a R: =

z(t) x(at)

2.1.14 Energia e Potenza

L&rsq