Elettromagnetismo - Pendolo carico

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Erectus
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Questo appunto analizza un esercizio su un pendolo carico in equilibrio in un campo elettrico. Vengono calcolate la reazione vincolare sul filo e il periodo di oscillazione, integrando concetti di Meccanica Classica ed Elettromagnetismo.

Concetti Chiave

  • L'esercizio collega Meccanica Classica ed Elettromagnetismo, affrontando il calcolo della reazione vincolare su un filo che sostiene una carica elettrica.
  • La carica di 8,3 μC è appesa a un filo e sottoposta a una forza gravitazionale e a una forza elettrica generate da un piano di carica infinita.
  • Le forze in gioco sono calcolate, con la forza gravitazionale di 1,47 N e la forza elettrica di 2,02 N, determinando una reazione vincolare di 0,55 N.
  • Il periodo di oscillazione del pendolo, calcolato in caso di piccole oscillazioni, risulta essere di 1,19 secondi.
  • La soluzione dell'esercizio implica l'uso di formule specifiche per le forze e il periodo di oscillazione, evidenziando le relazioni tra le grandezze fisiche coinvolte.

Questo appunto presenta un esercizio che fa, in un certo senso, da ponte tra la Meccanica Classica e l'Elettromagnetismo.
Le formule che andremo ad utilizzare riguardano effettivamente entrambi gli ambiti. Ciò che faremo è calcolare la reazione vincolare che agisce su un filo reggente una sferetta che viene posta in prossimità di un campo elettrico.
Vediamo il testo dell'esercizio.

Testo del problema

Una carica
[math] q = 8,3 \mu C [/math]
di massa
[math] m = 0,15 kg [/math]
è appesa con un filo rigido lungo
[math] 0,35 m [/math]
sopra ad una distribuzione piana infinita di carica di densità
[math] \sigma = 4,3 \cdot 10^{-6} \frac{C}{m^2} [/math]
Sia la carica che il piano si trovano nel vuoto, la carica è in equilibrio. Determinare la reazione vincolare esercitata sul filo.
Successivamente supponi di spostare la carica dalla posizione di equilibrio, calcolare il periodo di oscillazione del pendolo, nell'ipotesi di piccole oscillazioni.

Soluzione del problema

La carica è sottoposta a due forze: quella gravitazionale, descritta dal secondo principio della dinamica, per cui
[math]F_g = m \cdot g [/math]
, e quella elettrica, data dalla formula
[math]F_e = E \cdot q [/math]
.

Conoscendo la densità di carica del piano, sappiamo che il campo elettrico che questo genera può essere scritto

[math]E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}[/math]
.

La forza elettrica diventa quindi

[math]F_e = q \cdot \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} [/math]
.

Determiniamo ora il valore delle due forze:

[math] F_g = m \cdot g = 0,15 kg \cdot 9,8 m/s^2 = 1,47 N [/math]

[math] F_e = \frac{\sigma \cdot q}{2 \varepsilon_0} = 2,02 N [/math]

Dato che le forze hanno stessa direzione ma verso opposto (in effetti, la carica è positiva), per calcolare la reazione vincolare esercitata sul filo dobbiamo calcolare la loro differenza. Questo perché la carica è in equilibrio e, pertanto, la somma di tutte le forze agenti su di essa è nulla. Si ottiene quindi:

[math] R = F_e - F_g = 2,02 N - 1,47 N = 0,55 N [/math]

Per risolvere il secondo punto del problema, ricordiamo che il periodo di oscillazione del pendolo è dato dalla formula

[math] T = 2 \pi \cdot \sqrt{l/g} [/math]
.

Possiamo calcolare quindi il suo valore:

[math] T = 2 \pi \cdot \sqrt{l/g} = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{0,35 m}{9,8 m/s^2}} = 1,19 s [/math]
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è la reazione vincolare esercitata sul filo che regge la carica in equilibrio?

    2. La reazione vincolare esercitata sul filo è di 0,55 N, calcolata come la differenza tra la forza elettrica e la forza gravitazionale che agiscono sulla carica (2,02 N - 1,47 N).

  2. Come si determina il campo elettrico generato da una distribuzione piana infinita di carica?

    3. Il campo elettrico generato da una distribuzione piana infinita di carica è dato dalla formula \(E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\), dove \(\sigma\) è la densità di carica e \(\varepsilon_0\) è la costante dielettrica nel vuoto.

  3. Qual è il periodo di oscillazione del pendolo quando la carica viene spostata dalla posizione di equilibrio?

    4. Il periodo di oscillazione del pendolo, nell'ipotesi di piccole oscillazioni, è di 1,19 s, calcolato utilizzando la formula \(T = 2 \pi \cdot \sqrt{l/g}\), con \(l = 0,35 m\) e \(g = 9,8 m/s^2\).

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