vettori linearmente

Matrici endomorfismo, rotazione e traslazione di un vettore, vettori linearmente dipendenti, forma bilineare simmetrica retta Matrici endomorfismo, rotazione e traslazione di un vettore, vettori linearmente dipendenti, forma bilineare simmetrica retta

1) Matrici di endomorfismo

Possono le due matrici \( A = \begin{pmatrix}5 & 2 & 0 \\0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\) e \( B =\begin{pmatrix}1 & 3 & -2 \\5 & 10 & -7 \\5 & 15 & 10 \end{pmatrix}\) essere associate ad uno stesso endomorfismo di \( \mathbb{R}^3 \) rispetto a due basi diverse?

• No, dipende dall'endomorfismo
• Sì, su \( \mathbb{R} \)
• No, su \( \mathbb{C} \)
• Sì, su \( \mathbb{Q} \)
• No, su \( \mathbb{R} \)

Si vede facilmente che la matrice \( A \) ha rango uguale a 3, essendo triangolare superiore con tutti gli elementi della diagonale principale non nulli; mentre la matrice \( B \) ha rango 2. Possiamo allora concludere che non possono rappresentare lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse.

2) Rotazione e traslazione di un vettore

Siano \( \alpha \) una rotazione e \( t_{\vec{v}} \) una traslazione di vettore \( \vec{v} = \vec{i} + 4 \, \vec{j} \). Quale tra le seguenti affermazioni è falsa?

• \(\alpha\) trasforma ogni retta \( r \) di \( \mathbb{R}^2 \) in una retta parallela ad \( r \) stessa
• \( t_{\vec{v}} \) trasforma ogni retta \( r \) di \( \mathbb{R}^2 \) in una retta parallela ad \( r \) stessa
• \( \alpha \) è un'isometria
• \( t_{\vec{v}} \) è un'isometria
• \( t_{\vec{v}} \) non ha punti fissi

Con una rotazione la direzione della retta immagine di \( r \) cambia e quindi non è parallela alla retta di partenza.