Variazione di entropia del gas nel lato sinistro di un cilindro

Variazione di entropia del gas nel lato sinistro di un cilindro

Volume e temperatura finali lato sinistro

Temperatura finale lato destro

Variazione di entropia del gas nel lato sinistro di un cilindro

Volume e temperatura finali lato sinistro

Temperatura finale lato destro

Un cilindro, le cui pareti non consentono scambi di calore con l'esterno, è chiuso da entrambi i lati. Il cilindro è diviso in due volumi da un disco interno, anche esso termicamente isolante, libero di muoversi senza attrito. Inizialmente ciascuno dei volumi è riempito da un gas perfetto, di volume 10 l, pressione 1 atm, temperatura 300 K. Un riscaldatore è usato nel volume di destra del cilindro, per riscaldare lentamente il gas, fino a raggiungere una pressione finale di 64/27 di quella iniziale. Noto il rapporto tra il calore specifico a pressione e volume costante del gas (γ = 1.5), calcolare:

1. La variazione di entropia del gas nel lato sinistro
2. Il volume e la temperatura finali nel lato sinistro
3. La temperatura finale nel lato destro

• Il calore viene fornito lentamente, quindi la trasformazione è reversibile
• Non c'è passaggio di calore da destra a sinistra; quindi il gas di sinistra fa una trasformazione adiabatica reversibile
• La temperatura nei due lati può essere diversa
• In condizione di equilibrio meccanico, la pressione nei due lati deve essere la stessa (P₂ = P₂ = 64/27 P₀)
• V₁ + V₂ = 2 V₀

∆S = S_fin - S_iniz = ∫_{i, rev}^f dQ_T

Variazione di entropia

a) Dato che il gas nel lato sinistro passa dallo stato iniziale a quello finale attraverso un'adiabatica reversibile, cioè senza scambio di calore, si ha: SQ = 0   ⇒   ∆S = 0

Volume finale nel lato sinistro

b) In una trasformazione adiabatica reversibile di un gas perfetto, vale la relazione seguente: PV^γ = costante   [dove γ = C_p/C_v]

[N.B. per un isoterma si ha: PV = costante]

Quindi per il gas sul lato sinistro si ha: P₁V₁^γ = P₀V₀^γ

Ma dato che   P₁ = ⁶⁴/₂₇P₀ = ( ⁴/₃ )³ P₀   si ha:

(⁶⁴/₂₇) P₀V₁^γ = P₀V₀^γ   ⇒   V₁^γ = ²⁷/₆₄V₀^γ   [γ = 1.5 = ³/₂]

V₁^3/2 = ( ²⁷/₆₄ )³ V₀^3/2   ⇒   V₁^1/2 = ³/₄ V₀^1/2

V₁ = ( ³/₄ )² V₀ = ⁹/₁₆ V₀

V₁ = ⁹/₁₆ V₀ = ⁹/₁₆   10 = 5.625   e