Uomini corrono nel vagone

Uomini corrono nel vagone

Conservazione della quantità di moto

Uomini corrono nel vagone

Conservazione della quantità di moto

Il vagone è inizialmente fermo. Su di esso stanno n uomini, ognuno dei quali pesa p. Se gli uomini corrono uno per volta da un estremo all'altro del vagone con velocità relativa u e saltano giù, imprimono al vagone una velocità maggiore che se corressero tutti insieme e saltassero giù contemporaneamente?

Sul sistema non agiscono forze esterne per cui si conserva la quantità di moto secondo un asse coincidente con direzione e verso della velocità v₀.

Sia M la massa del vagone ed m la massa dell'uomo. Se gli uomini saltano tutti contemporaneamente dal vagone si ha (nm+M)v₀ = Mv + nm(v-u) da cui essendo m = ^P/_n ed M = ^P/_q si ha che v = ^n₁u/_n1+P è la velocità impressa al treno.

Essendo v₀ = 0, si ha: v = ^-n₁u/_n1+P. Se gli uomini saltano giù uno alla volta dal vagone, si ha, quando salta il primo uomo dal vagone, dalla conservazione della quantità di moto che è: (nm+M)v₀ = m(v₁-u) + [N₁+(n-1)m₁]v₁ da cui è v₁ = ^{(nm+M)v₀ + nm₁v₀ + n₁u}/_m+m+M-m la velocità impressa al vagone dal salto del primo uomo.

Quando parte il secondo uomo il vagone ha dunque una velocità iniziale v₁. Viene così impressa al vagone una velocità v₂, quando anche il secondo uomo è saltato, data da: v₂ = v₁ + ^n₁u/_n1(n-1)+P (Si ricordi che quando il secondo uomo comincia a correre sul vagone ci sono ancora [n-1] uomini sul vagone).

Quando salta l'(n-1)-esimo uomo, viene impressa al vagone una velocità v_r=v_r-1+_hμ/_μ(n-r+1)+P. Quando salta l'r-esimo uomo provoca una differenza nella velocità del vagone data da v_r-v_r-1=_hμ/_μ(n-r+1)+P (*).

Cioè ogni volta che un uomo salta il vagone varia la sua velocità e la variazione dipende dal numero di persone saltate fino a quel momento. La variazione è massima quando r=n: infatti quando salta l'ultimo uomo rimasto sul vagone è v_r-v_r-1=_hμ/_μ;+P - la variazione di velocità è minima quando salta il primo uomo: si ha v_r-v₀=_hμ/_n+P - La variazione di velocità è in questo caso minima perché si ha a denominatore della (*) un addendo μ(n-r+1) che è massimo variando r tra 1 ed n, quando r=1.

In questo caso il denominatore è massimo e quindi la differenza di velocità del vagone dovuta al salto dell'r-esimo uomo è minima dalla (*) Ogni uomo, saltando dal vagone, provoca quindi una differenza di velocità del vagone: Δv=_hμ/_n+P