Un'ipotesi sulla densità della Terra

Un’ipotesi sulla densità della Terra

Gravitazione

Un’ipotesi sulla densità della Terra

Gravitazione

Si supponga che la densità ρ della Terra (considerata come perfettamente sferica) sia inversamente proporzionale alla distanza r dal suo centro, secondo la legge:

ρ(r) = k/r

essendo k un’opportuna costante espressa in unità S.I. Dimostrare che, in tal caso, l’accelerazione di gravità g è costante per tutti i punti della superficie terrestre e per tutti quelli interni ad essa (vale a dire quando si verifica che 0 < r ≤ R_T con R_T raggio terrestre). Successivamente, assumendo che la costante di gravitazione universale sia G = 6,67 × 10⁻¹¹ (N·m²)/Kg², determinare numericamente la costante k in modo che l’accelerazione di gravità coincida con il noto valore medio g = 9,81 m/s² che si riscontra realmente sulla superficie terrestre.

(Figura 9.9)

Per risolvere il problema possiamo utilizzare il teorema di Gauss per la gravitazione. Indicato con Φ_SC(g) il flusso totale del vettore g, intensità del campo gravitazionale, attraverso una qualsiasi superficie chiusa SC, detta M la massa gravitazionale in essa contenuta e G la costante di gravitazione universale, vale la seguente relazione:

Φ_SC(g) = 4 π G M (1)

Sfruttando opportunamente la simmetria sferica della Terra, scegliamo una superficie gaussiana costituita da una sfera di raggio r < R_T avente il centro coincidente con quello terrestre (Figura 9.9). Su tutti i punti di questa superficie |g| è costante ed il corrispondente vettore ha in ogni punto la stessa direzione della normale alla superficie stessa. Perciò, detta S = 4 π r² l’area della sfera con raggio r, il flusso totale di g attraverso di essa è espresso semplicemente da:

Φ_SC(g) = g · 4π r² (2)

Indicata con M la massa contenuta nella sfera di raggio r, combinando la (2) con la (1), ricaviamo:

g · 4 π r² = 4 π G M

e quindi:

g = GM/r² (3)

Per completare il risultato espresso dalla (3), dobbiamo ora calcolare M sapendo dal testo che ρ = k/r. Indicato con dM l’elemento infinitesimo di massa, con dV quello di volume e ricordando la definizione di densità, possiamo scrivere:

dM = ρ dV (4)

dV rappresenta il volume di un guscio sferico di raggio r e spessore dr; pertanto esso è espresso da:

dV = 4 π r² dr (5)

Combinando la (5) con la (4), dopo aver inserito in quest’ultima equazione ρ in funzione di r, è possibile ricavare M integrando il 2° membro della (4) tra i valori 0 ed r. Si ottiene:

M = ∫₀^r(4 π r² · k/r) dr = 4 π k ∫₀^r r dr = 4 π k |r²/2|₀^r