Una funicella avvolta intorno al cilindro

Una funicella avvolta intorno al cilindro

Dinamica dei moti rotatori

Una funicella avvolta intorno al cilindro.

Dinamica dei moti rotatori

Una funicella è avvolta intorno ad un cilindro di massa M e raggio R. Il cilindro lasciato libero tende a cadere per azione del suo peso svolgendo la corda, ma questa è tirata verticalmente verso l'alto in modo che il baricentro del cilindro non si muova.

• Quale tensione deve avere la corda?
• Quale lavoro deve essere fatto sul cilindro quando esso ha raggiunto una velocità angolare ω?
• Qual è la lunghezza della corda che si è srotolata nel frattempo?

a) La seconda legge di Newton dice che per un sistema: \( \vec{F}_{\text{est}}=m\vec{a} \) dove \( \vec{F}_{\text{est}} \) è la risultante delle forze esterne ed è l'accelerazione con cui si muove il centro di massa del sistema stesso. Nel nostro caso il baricentro del cilindro non si muove cioè \( \vec{a}=0 \); inoltre \( \vec{F}_{\text{est}} = M \vec{g} + \vec{T} \), avendo \( M \vec{g} \) e \( \vec{T} \) uguale direzione e verso opposto si ha lungo tale direzione \( M g - T = 0 \) da cui la tensione che deve avere la corda è \( T = M g \).

b); c) Poiché in questo caso il centro d'istantanea rotazione per la sezione in esame è il baricentro della sezione, si ha rispetto a tale punto \( \vec{\tau} = I \vec{\alpha} \) dove \( I = \frac{M R^2} {2} \) per il cilindro; nel nostro caso \( \tau = T R = \frac{M R^2} {2} \alpha \). E \( \tau = T R \) perché \( \vec{T} \) è sempre diretta tangenzialmente al cilindro.

Si ha dunque: \( \alpha = \frac{2T} {M R} = \frac{2Mg} {M R} = \frac{2g} {R} \) è l'accelerazione angolare con cui ruota il cilindro. Questo raggiunge dopo un certo tempo la velocità ω. Per raggiungere tale velocità ω, partendo da fermo, dal principio della conservazione dell'energia, è necessario un lavoro fatto sul cilindro pari alla variazione di energia del siste-