Una fune flessibile

Una fune flessibile. Conservazione della quantità di moto. Una fune flessibile. Conservazione della quantità di moto

Una fune flessibile di lunghezza l e densità lineare μ scivola dal bordo di un tavolo senza attrito. All'istante t=0 un tratto y₀ di fune pende dal tavolo e all'istante t sul tavolo è appoggiato un tratto di fune l-y mobile con velocità \(\frac{dy}{dt}\).

1. Dimostrare che, in termini di un problema a massa variabile, è \(\dot{m}= \frac{v_{y_0}}{l}=0\) in modo tale che l'equazione di moto ha la forma \(m \dot{v}=\frac{R}{l_y}\).
2. Dimostrare che l'equazione del moto è \(l \left(\frac{d^2 y}{dt^2}\right)=gy\).
3. Dimostrare che dalla conservazione dell'energia meccanica deve essere \(l \left(\frac{dy}{dt}\right)^2-gy^2=const\) e che questo risultato è in accordo con quello \((b)\).
4. Dimostrare che \(y=-\frac{y_0}{2}\left( e^{\sqrt{\frac{g}{l}t}} + e^{-\sqrt{\frac{g}{l}t}}\right)\) è una soluzione dell'equazione del movimento.

a)

Siccome alla parte che pende dal tavolo y continua ad aggiungersi dy, (parte della fune che sta sul tavolo) possiamo supporre tale sistema a massa variabile, in cui entra massa, della stessa fune, da _vrel velocità relativa della porzione dy di fune rispetto alla velocità del centro relativo della fune, è nulla perché l’elemento dy fa parte della fune quindi dy si muove con la stessa velocità v del centro relativo della fune. Si ha _vrel = 0 e quindi m ^d_v/_dt = _Fest

b)

m è la massa della fune ed è m = ^gy/_dt v è la velocità del centro relativo della fune. Da _Fest è la risultante delle forze esterne applicate alla fune; essa è costituita dalla forza quantazionale della parte di fune y che pende dal tavolo cioè _Fest è diretta verticalmente verso il basso ed ha intensità μgy.

In un riferimento y verticale diretto verso il basso è v - ^dy/_dt μ ^d/_(dy) = μ gy e quindi μ _dy/_dt = gy.

c)

Dalla conservazione dell'energia meccanica totale si ha: K₀+U₀=K+U dove K₀ e U₀ si riferiscono alla posizione iniziale in cui la fune ha velocità v₀ e in cui un tratto y₀ sorge dal tavolo. Si ha K₀=\(\frac{1}{2}\) mv₀² ed u₀=-μg \(\frac{y₀²}{2}\).

K e U si riferiscono a una posizione generica, in cui la fune ha velocità v e sorge un tratto y dal tavolo. Osservare che il baricentro del tratto di fune y è ad altezza y/2. Si ha \(\frac{1}{2}\) mv²-μg \(\frac{y²}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) mv₀² μg \(\frac{y₀²}{2}\) da cui essendo la prima parte una costante è \(\frac{1}{2}\) mv²-μg \(\frac{y²}{2}\)=cost. Ora v=dy per cui è \(\int \)v dv-\(\int \mu \) dy²=\)cost o anche l(\(\frac{dy²}{dt²}\)) ∫gy²=\)cost e derivando rispetto alla variabile y si ha: l \(\frac{d}{dy}\left[\left(\frac{dy}{dt}\right)²\right]-2\)gy=0 che, essendo dy= v, può anche scriverso l ∫(v²)-2gy=0 => da cui: => l \(\frac{d(v²)}{dv}\) ∫-2gy=1 e quindi 2\(\)v dv-2gy=0 da cui:2∫ \(\frac{dv}{dt}\) -2gy=0. Si riscrive formalmente 2∫ \(\frac{dv}{dt}\) -2gy=0_cioè l(\(\frac{dv²}{dt²}\))=\)gy \((*)\)