Un lancio dalla piattaforma rotante

Un lancio dalla piattaforma rotante

Dinamica rotazionale

Un lancio dalla piattaforma rotante

Una piattaforma costituita da un disco omogeneo di massa M = 50 Kg e raggio R = 2 m è vincolata a ruotare con attrito trascurabile attorno al suo centro C. Un dispositivo a molla di massa m = 20 Kg, montato sul bordo della piattaforma, lancia, con direzione tangenziale ad essa ed inclinazione θ = 30° rispetto al piano orizzontale, una sfera di massa m₀ = 5 Kg (Figura 7.8). Sapendo che al momento del lancio la piattaforma è ferma e che la sfera va a cadere ad una distanza x_G = 3R dal punto O di partenza, si calcoli la velocità angolare ω subito dopo il lancio.

[Nota: La Figura 7.8 non è in scala. Nell'analisi del moto della sfera si trascuri la resistenza dell'aria. Inoltre si considerino come puntiformi le masse m ed m₀. Il momento d'inerzia della piattaforma sia I = (½) M R² ed il valore numerico dell'accelerazione di gravità sia g = 9,8 m/s²].

Osserviamo anzitutto che il moto della massa m₀ è di tipo parabolico e segue le leggi già applicate per il moto dei proiettili. Fissato dunque il sistema cartesiano xOy (perpendicolare al piano della piattaforma) con l’origine nel punto di lancio e detta v₀ la velocità iniziale della sfera (vedi Figura 7.8), possiamo scrivere le equazioni parametriche della sua traiettoria nella forma:

x = (v₀ cosθ) · t

y = (v₀ senθ) · t – (½) g t²

Eliminando il parametro t dalle due precedenti equazioni otteniamo:

y = tg θ · x – ¹/_{2 v0² cos² θ} · x²

che esprime appunto, in forma cartesiana, la traiettoria della sfera. Sappiamo (vedi problemi del capitolo I) che la gittata x_G nei moti parabolici è fornita dall’equazione:

x_G = _{v0² sen2θ}/^g (1)

e poiché il testo del problema fornisce x_G (x_G = 3R = 6 m), la (1) ci consente di calcolare la velocità iniziale v₀ della sfera:

v₀ = √_{3 R g}/^{sen2 θ} (2)

Sostituendo nella (2) i dati numerici R = 2 m; g = 9,8 m/s² e θ = 30°, si trova facilmente v₀ ≅ 8,2 m/s. Osserviamo adesso che all’istante del lancio non agiscono sul sistema momenti di forze esterne, quindi esso può considerarsi isolato. Pertanto vale il principio di conservazione del momento angolare (º) (momento angolare finale = momento angolare iniziale).

Il momento angolare iniziale L_i subito prima del lancio è ovviamente nullo perché la piattaforma è per ipotesi in quiete, quello finale L_f è invece la somma dei momenti angolari della piattaforma (L_p), del dispositivo a molla (L_d) e della sfera lanciata (L_s). Deve dunque valere l’equazione:

L_p + L_d + L_s = 0 (3)

Per il calcolo di L_p ed L_d utilizzeremo l’equazione, nota dalla teoria: L = I ω, mentre esprimeremo L_s in termini di velocità lineare dato che il moto della sfera è indipendente da quello della piattaforma. Pertanto, indicati con I_p ed I_d i momenti d’inerzia rispettivamente della piattaforma e del dispositivo a molla e detta v_ox = v₀ cosθ la componente tangenziale di v₀ (quella verticale v₀ = v₀ senθ), non ha effetto nel calcolo del momento angolare perché parallela all’asse di rotazione della piattaforma), possiamo scrivere: