Traiettoria del moto del corpo

Traiettoria del moto del corpo

Cinematica del moto rotatorio

Traiettoria del moto del corpo

Cinematica del moto rotatorio

Un corpo si muove nel piano x-y in modo che x = R cos ωt e y = R sen ωt dove x e y sono le coordinate del corpo, t è il tempo, R e ω sono delle costanti.

1. Eliminare t fra queste due equazioni e trovare la traiettoria del moto del corpo. Che tipo di curva è? Quale significato ha la costante ω?
2. Trovare le componenti vx e vy della velocità derivando le espressioni di x e y rispetto al tempo. Trovare, combinando vx e vy, il modulo e la direzione di v. Descrivere il moto del corpo.
3. Derivare le espressioni di vx e vy rispetto al tempo e trovare modulo e direzione dell’accelerazione?

a) Scriviamo (*) | x = Rcoswt | y = Rsenwt

Eleviamo, per ciascuna delle due equazioni, entrambi i membri al quadrato e sommiamo. Si ha:

x² + y² = R²(cos²wt + sen²wt) da cui x² + y² = R² è la traiettoria del moto del corpo. È un cerchio di centro l'origine e raggio R.

Dividendo la 2^a per la 1^a delle (*) si ha y/x = tg (wt).

Da questa relazione e dalla figura si vede quindi che per una generica posizione P lungo la traiettoria, ∠=wt rappresenta l'angolo formato dal raggio passante per il punto P con l'asse x. Ne deriva che ω è la velocità angolare di P.

b)

_{vx = ^dx/dt = ^d(Rcosωt)/dt = -Rωsenωt vy = ^dy/dt = ^d(Rsenωt)/dt = Rωcosωt}

Ne deriva che è :

_v̲ = -Rωsenωt î + Rωcosωt ĵ.

Il modulo di tale vettore è :

_v = √_{v²x + v²y} = √_{R²ω²sen²ωt + R²ω²cos²ωt} per cui _v = Rω.

Mentre la direzione è data dall’angolo β formato con l’asse x, tale che tg β = ^v_y/_vx = -Rωcosωt/_Rωsenωt

da cui tg β = -cotg ωt = tg (ωt + π/2) e quindi β = ωt + π/2

cioè in un punto P della traiettoria il vettore velocità è diretto perpendicolarmente al raggio che passa per P; cosa del resto ovvia perché il vettore velocità è in ogni punto tangente alla traiettoria.

Il corpo si muove di moto circolare uniforme con

velocità lineare costante di modulo v = Rω.

c) Per quanto riguarda l'accelerazione

_{ax = ^dvx/dx = ^{d(-Rωsenωt)}/dt = -Rω²cosωtay = ^dvy/dy = ^d(Rωcosωt)/dt = -Rω²senωt}

Si ha quindi: ã = a_x î + a_y ĵ = (-Rω²cosωt) î + (-Rω²senωt) ĵ per cui in