Traiettoria del moto del corpo

Traiettoria del moto del corpo

Cinematica del moto rotatorio

Un corpo si muove nel piano x-y in modo che x = R cos wt e y = R sen wt dove x e y sono le coordinate del corpo, t è il tempo, R e w sono delle costanti.

• A) Eliminare t fra queste due equazioni e trovare la traiettoria del moto del corpo. Che tipo di curva è? Quale significato ha la costante w?
• B) Trovare le componenti v_x e v_y della velocità derivando le espressioni di x e y rispetto al tempo. Trovare, combinando v_x e v_y il modulo e la direzione di v. Descrivere il moto del corpo.
• C) Derivare le espressioni di v_x e v_y rispetto al tempo e trovare modulo e direzione dell'accelerazione?

Traiettoria del moto del corpo

A) Scriviamo (*) x = R cos wt y = R sen wt.

Eleviamo, per ciascuna delle due equazioni, entrambi i membri al quadrato e sommiamo. Si ha: x² + y² = R²(cos² wt + sen² wt) da cui x² + y² = R² e la traiettoria del moto del corpo è un cerchio di centro l'origine e raggio R.

Dividendo la 2a per la 1a delle (*) si ha y/x = tg(wt). Da questa relazione e dalla figura si vede quindi che per una generica posizione P lungo la traiettoria, t = wt rappresenta l'angolo formato dal raggio passante per il punto P con l'asse x. Ne deriva che w è la velocità angolare di P.

Velocità del corpo

B) v_x = dx/dt = d(R cos wt)/dt = - R w sen wt. Ne deriva che è: v_y = dy/dt = d(R sen wt)/dt = R w cos wt.

v = - R w sen wt i + R w cos wt j. Il modulo di tale vettore è: v = √(v_x²+v_y²) = √(R²w²sen²wt + R²w²cos²wt) in cui v = Rw.

Mentre la direzione è data dall'angolo beta formato con l'asse x, tale che tg beta = v_y/v_x = - Rw coswt / Rw senwt da cui tg beta = - cotg wt = tg (wt + pi/2) e quindi beta = wt + pi/2 = theta + pi/2 cioè in un punto P della traiettoria il vettore velocità è diretto perpendicolarmente al raggio che passa per P, cosa del resto ovvia poiché il vettore velocità è in ogni punto tangente alla traiettoria.

Il corpo si muove di moto circolare uniforme con velocità lineare costante di modulo v = Rw.

Accelerazione del corpo

C) Per quanto riguarda l'accelerazione a_x = dv_x/dt = d(-Rw senwt)/dt = -Rw²coswt a_y = dv_y/dt = d(Rwcoswt)/dt = - R w² senwt.

Si ha quindi: a = a_x i + a_y j = (-Rw²coswt) i + (-Rw²senwt) j per cui in