Teoria dei segnali - Vari esercizi

Info (DF-M) prova scritta di teoria dei segnali del 18.06.2007

Tempo: 2.5 ore. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1 (10 punti)

Si consideri la seguente equazione differenziale: 2√ √d d d ∈2 α αy(t) + y(t) = 2 x(t) + x(t) α . con R +2dt dt dt

(a) Nell’ipotesi che l’equazione differenziale definisca un sistema LTI, determinare e rappresentare H(f ) graficamente la risposta in frequenza del sistema. α y(t)

(b) Determinare la costante in modo che il segnale di uscita corrispondente al segnale di P Px(t) = cos(t) 10 x(t). ingresso abbia una potenza inferiore di dB rispetto a quella di y x

Esercizio 2 (10 punti)

z(n) S Sx(n) y(n)- - -1 2S S

Con riferimento allo schema in figura, i sistemi S1 ed S2 sono entrambi LTI, con legami i-u: 1 21 −z(n) = [x(n) + x(n 1)] ,21 − −[z(n) z(n 1)] .y(n) = 2

(a) Determinare la risposta in frequenza H(ν) del sistema complessivo e rappresentarla graficamente ∈ν (−1/2, 1/2). nell’intervallo π

(b) Calcolare l’uscita y(n) corrispondente al segnale di ingresso x(n) = 1 + 2 cos. 2

Esercizio 3 (10 punti)

Sia una variabile aleatoria X caratterizzata dalla seguente pdf: −1 x x 10 −f (x) = + δ(x ∆) .rect2 ∆ 2x ∆

(a) Determinare ∆ e f (x) in modo che sia una valida pdf e che E(X) = 1, e rappresentare 0 graficamente la pdf risultante.

(b) Determinare e rappresentare graficamente la CDF F (x) di X, verificando che sia una valida CDF.

(c) Stabilire se X è una variabile aleatoria continua, discreta o mista.

(d) Calcolare le seguenti probabilità (esprimere tutti i risultati in forma frazionaria): ≤ ≤ ≤ |X|P (X = 1), P (1 < X 2), P (1 X 2), P (1/2 < < 3/4) .