Teoria dei Segnali - Esercizi vari

Prova scritta di teoria dei segnali del 16.07.2007 (soluzione)

Esercizio 1 (10 punti)

(a) Dallo schema a blocchi è possibile scrivere direttamente le seguenti relazioni nel dominio della frequenza: −E(f ) = X(f ) Y (f ) ,2Y (f ) = H (f ) Y (f ) ,2 2Y (f ) = Z(f ) + N (f ) ,Z(f ) = H (f ) E(f ) .1Y (f ), Z(f ) E(f ) Y (f ) = H (f ) X(f )−H (f ) H (f ) Y (f )+N (f ),

Sostituendo ed eliminando e si trova2 1 1 2 da cui si ottiene, raggruppando i termini, H (f ) 11Y (f ) = X(f ) + N (f ) = H (f ) X(f ) + H (f ) N (f ) .x n1 + H (f )H (f ) 1 + H (f )H (f )1 2 1 2| {z } | {z }=H (f ) =H (f )x n

(b) Applicando le relazioni i-u per le sinusoidi, si ha:1 1 1 1 |H|H )| cos t + ( ) + ( )| cos t + ( ) .y(t) = ( ∠H ∠Hx x n n2π 2π 2π 2π

L’esercizio richiede che P P 10n n −1− 1−10 ⇒10 log = 10 = ,= = 10 10P P10 10x xPP 1 1 12 12 2|H |H( )| = ( )| H (f ) = α H (f ) = j2πf= e . Sostituendo e si ha dove x x n n 1 22 2π 2π α 1H (f ) = H (f ) = ,ex n1 + j2πf α 1 + j2πf α

1f =e quindi per si ha2π α 11 1H ( H ( ,)= )=ex n2π 2π1 + jα 1 + jαα per cui, ricordando che è non negativo per ipotesi,1P √1 2|H ( )|n 2n 1+α 1 12π ⇒= = = = α = 10 .P 21 α 102α2|H ( )|x x 2π 21+α

Esercizio 2 (10 punti)

N = 2.

(a) Dal grafico del segnale si ricava che La DFS si calcola facilmente utilizzando la definizione:0 (1 0 , k =0;1 1X −j2π −j2πkn k k− −X(k) = x(n) e = 1 e = 1 (−1) =2 2 2 , k =1 .n=0

(b) Sulla base della relazione i-u per la DFS si ha: kY (k) = H( )X(k) , k = 0, 1 .2H(ν)

Aiutandosi con un grafico di si calcola Y (0) = H(0) X(0) = 0 ,12Y (1) = H( ) X(1) = 2α .