Teoria dei Segnali - Esercizi vari

Info (DF-M) prova scritta di teoria dei segnali del 02.07.2007

Tempo: 2.5 ore. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1 (10 punti)

x(t) = cos(2πf₀t) + cos(4πf₀t), f₀ costante reale e positiva, è posto in ingresso ad un filtro RC avente risposta in frequenza:

H(f) = 1 / (1 + j f / (√3 f₃))

dove f₃ (reale e positiva) rappresenta la frequenza di taglio a 3 dB del filtro.

Determinare f₃ in funzione di f₀, in modo che la potenza della sinusoide a frequenza 2f₀ in uscita al filtro RC sia inferiore di 3 dB rispetto alla potenza della sinusoide a frequenza f₀ in uscita al filtro RC.

Esercizio 2 (10 punti)

Si consideri il sistema LTI a TD descritto dalla seguente relazione i-u:

y(n) = a₁x(n) + a₂x(n − 1) + a₃x(n − 2),

dove a₁, a₂ e a₃ sono coefficienti reali.

(a) Sapendo che all’ingresso x(n) = 1 + cos(πn/2) corrisponde l’uscita y(n) = 1, determinare i valori dei coefficienti a₁, a₂, a₃.

(b) Utilizzando i coefficienti determinati al punto (a), calcolare la risposta in frequenza H(ν) del sistema e rappresentarla graficamente nell’intervallo ν ∈ (−1/2, 1/2).

Esercizio 3 (10 punti)

Un esperimento aleatorio consiste nell’estrazione, senza sostituzione, di tre palle da una scatola che contiene 3 palle bianche e 3 palle rosse. Detto Ω lo spazio campione, ad ogni possibile risultato ω dell’estrazione, una terna di palle, si associa un numero X(ω) uguale al numero di palle rosse della terna, costruendo così una variabile aleatoria X su Ω.

(a) Calcolare la CDF e la pdf della variabile aleatoria X e rappresentarle graficamente.

(b) Calcolare media e varianza della variabile aleatoria X.

Esprimere tutti i risultati in forma frazionaria.