Teoria dei Segnali - esercizi

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PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL 27.06.2005.

Tempo: 2.5 ore. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

ESERCIZIO 1

(10 punti)

Il segnale x₀(t) riportato in figura è replicato con periodo T₀ = 2τ, ottenendo così il segnale periodico x(t) = x_{0, T0.}

1. (a) Calcolare i coefficienti della serie di Fourier del segnale x(t).
2. (b) Nell’ipotesi in cui x(t) sia posto in ingresso ad un filtro LTI ideale con risposta in frequenza H(f), definita come:
   • 1/2, per 0,5/T₀ ≤ |f| ≤ 2.5/T₀;
   • 0, altrimenti;
   calcolare la corrispondente uscita y(t).

ESERCIZIO 2

(10 punti)

Il segnale di ingresso x(n) e la risposta impulsiva h(n) di un sistema LTI sono dati da:

x(n) = 2δ(n-1) e h(n) = 1/2u(n).

1. (a) Determinare analiticamente e rappresentare graficamente il segnale di uscita y(n).
2. (b) Calcolare valor medio, energia e potenza di y(n).

ESERCIZIO 3

(10 punti)

Il risultato di un esperimento aleatorio è un numero U distribuito uniformemente nell’intervallo Ω = [0,1]. Si supponga di costruire una variabile aleatoria X = aU nel seguente modo:

X =

• 0, se U ∈ [0, 1/4];
• 1, se U ∈ ]1/4, 1/2];
• 2U + 1, se U ∈ ]1/2, 1[.

1. (a) Determinare e rappresentare graficamente la CDF di X, e verificare che sia una valida CDF.
2. (b) Stabilire se X è una variabile aleatoria continua, discreta o mista.
3. (c) Determinare e rappresentare graficamente la pdf di X, e verificare che sia una valida pdf.
4. (d) Calcolare le probabilità P(1 ≤ X ≤ 5/2) e P(1 < X ≤ 5/2) (esprimere i risultati in forma frazionaria).