Teoria dei Segnali - esercizi

Info (N-Z) prova scritta di teoria dei segnali del 27.06.2005

Tempo: 2.5 ore. È consentito l'uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1 (10 punti)

Il segnale x_g(t) riportato in figura è replicato con periodo T₀ = 2T, ottenendo così il segnale periodico x(t) = rep_T0[x_g(t)] = sum_m=-infty^+infty x_g(t - mT₀).

• (a) Calcolare i coefficienti della serie di Fourier del segnale x(t).
• (b) Nell'ipotesi in cui x(t) sia posto in ingresso ad un filtro LTI ideale con risposta in frequenza H(f) = { n/2, per 0.5/T0 <= |f| <= 2.5/T0; 0, altrimenti; calcolare la corrispondente uscita y(t).

Esercizio 2 (10 punti)

Il segnale di ingresso x(n) e la risposta impulsiva h(n) di un sistema LTI sono dati da: x(n) = 2ⁿ1(-n) ed h(n) = 1(n).

• (a) Determinare analiticamente e rappresentare graficamente il segnale di uscita y(n).
• (b) Calcolare valor medio, energia e potenza di y(n).

Esercizio 3 (10 punti)

Il risultato di un esperimento aleatorio è un numero U distribuito uniformemente nell'intervallo Ω = [0, 1]. Si supponga di costruire una variabile aleatoria X su Ω nel seguente modo: X = { 0, se U ∈ [0, 1/4]; 1, se U ∈ ]1/4, 1/2]; 2U + 1, se U ∈ ]1/2, 1].

• (a) Determinare e rappresentare graficamente la CDF di X e verificare che sia una valida CDF.
• (b) Stabilire se X è una variabile aleatoria continua, discreta o mista.
• (c) Determinare e rappresentare graficamente la pdf di X e verificare che sia una valida pdf.
• (d) Calcolare le probabilità P(1 <= X <= 5/2) e P(1 < X <= 5/2) (esprimere i risultati in forma frazionaria).