Teoria dei segnali - esercizi

TdS - Prova aprova intracorso di teoria dei segnali del 29.04.2004

Tempo: 2.5 ore. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

Esercizio 1

Il cesto A contiene 3 mele sane e 2 mele marce, mentre il cesto B contiene 2 mele sane e 8 mele marce.

Una moneta (non truccata) è lanciata per decidere da quale cesto estrarre una mela: se si verifica testa, si estrae una mela dal cesto A; viceversa, se si verifica croce, si estrae una mela dal cesto B.

1.1 Calcolare la probabilità di estrarre una mela sana.

1.2 Sapendo che è stata estratta una mela sana, calcolare la probabilità che nel lancio della moneta si sia verificato testa.

Esercizio 2

Pietro vuole partecipare ad una maratona e battere il record stabilito nell’edizione precedente che rT = 3 è pari a ore.

Il suo allenatore di fiducia gli propone due diverse tecniche A e B di allenamento. Sulla base della sua lunga esperienza, l’allenatore garantisce a Pietro che, seguendo il piano T di percorrenza della maratona è una variabile aleatoria gaussiana di allenamento A, il suo tempo a 3 15 5 con media pari a ore e minuti e deviazione standard pari a minuti; invece, seguendo il piano di T = γ T 0 < γ < 1.

T che Pietro impiega per terminare la maratona è, con allenamento B, il tempo ab b γ = 0.9.

2.1 Supposto che stabilire quale dei due piani di allenamento risulta essere più conveniente per Pietro, nel senso che assicura la probabilità più alta di battere il record.

γ 2.2 Determinare il valore di in modo che, con riferimento al piano di allenamento B, la probabilità 99, 9%. che Pietro batta il record sia pari al

Esercizio 3

X Y Siano e due variabili aleatorie caratterizzate dalla seguente pdf congiunta:

α |x| ∀(x, y) ∈ D, f (x, y) =XY 0, altrimenti 2 2: −1 ≤ x ≤ 1 − 1 ≤ y ≤ x} R D = {(x, y) ∈ R e è un dominio di .

dove (x, y) α f risulti essere una valida pdf.

3.1 Determinare il valore di in modo che XY X Y

3.2 Stabilire se le variabili aleatorie e sono indipendenti, ortogonali, incorrelate.

P (X ≥ 0, Y ≥ 0). 3.3 Calcolare la probabilità