Teoria dei segnali - Esercizi

Esercizi svolti

Giacinto Gelli e Giovanni Poggi

30 maggio 2000

1. Prova scritta Teoria dei Segnali 18/12/96 Sun (esercizio 2)

Si consideri il processo aleatorio z(t) = x(t) cos(ω t + Θ) + y(t) sin(ω t + Θ)

0 0

∼ ω Θ U(0, 2π)

dove ω₀ è una costante e Θ è una variabile aleatoria statisticamente indipendente dai segnali aleatori x(t) e y(t).

Calcolare la media e l’autocorrelazione in tempo-ritardo di x(t), y(t), z(t).

Stabilire poi le condizioni da imporre ai processi x(t), y(t) e Θ, affinchè il segnale aleatorio z(t) sia stazionario in senso lato.

Poichè x(t) e y(t) sono indipendenti da Θ, la media di z(t) si può esprimere attraverso prodotti di medie, cioè:

E[z(t)] = E[x(t)] E[cos(ω₀ t + Θ)] + E[y(t)] E[sin(ω₀ t + Θ)]

da cui, tenendo presente che entrambe le medie su Θ sono nulle, ad esempio:

2π

Z 1 cos(ω₀ t + θ)dθ = 0

E[cos(ω₀ t + Θ)] =

0 0 2π

risulta E[z(t)] = 0.

Scriviamo adesso l’autocorrelazione statistica di z(t) in tempo-ritardo:

r_z(t, τ) = E[z(t)z^∗(t − τ)] = E[x(t)x^∗(t − τ) cos(ω₀ t + Θ) cos(ω₀ (t − τ) + Θ) +

+ y(t)y^∗(t − τ) sin(ω₀ t + Θ) sin(ω₀ (t − τ) + Θ)]

in cui per brevità non abbiamo esplicitato due dei quattro contributi. Sviluppiamo solo uno di questi termini, dato che le considerazioni per gli altri sono analoghe. Anzitutto teniamo presente che nel primo termine, cosı̀ come negli altri, compare il prodotto di una funzione delle sole x(t) e y(t), per una della sola Θ, per cui di nuovo, vista l’indipendenza, possiamo fattorizzare la media:

E[x(t)x^∗(t − τ) cos(ω₀ t + Θ) cos(ω₀ (t − τ) + Θ)] =

E[x(t)x^∗(t − τ)]E[cos(ω₀ t + Θ) cos(ω₀ (t − τ) + Θ)]

La prima media non è che la funzione di autocorrelazione r_x(t, τ) di x(t). Nella seconda, invece, sviluppando il prodotto di coseni, e considerato che qualunque sia φ, abbiamo E[cos(2Θ+φ)] = 0:

1 1

E[cos(2ω₀ t + ω₀ τ + 2Θ) + cos(ω₀ τ)] = cos(ω₀ τ)

0 0 0 0

2 2