Teoria dei Segnali - Esercizi

Prova scritta di teoria dei segnali del 18.06.2007 (soluzione)

Esercizio 1 (10 punti)

(a) Calcolando la trasformata di Fourier dell’equazione differenziale (applicando le proprietà di linearità e derivazione nel tempo) si trova √ √2 2( )−8π f +j2πfY (f )H(f ) = = α = α(j2πf )X(f ) 1+j4πf √ dy(t) = α cos(t) =

(b) Il sistema, a meno di una costante moltiplicativa, coincide con un derivatore, per cui √ dtP P12 α− α sin(t); = = poiché e, si ha x y 2P Py y −1 −1−10 ⇒ · ⇒10 log = 10 α = 10 .P P10 x x

Esercizio 2 (10 punti)

1212 − − −[δ(n) δ(n 1)] h (n) = [δ(n) + δ(n 1)], H (ν) = h (n) = e trasformando si trova

(a) Poiché 1 11−j2πν −j2πν1 1 −1 e H (ν) = 1 + ee, per cui 22 2 1 1 1 j−j2πν −j2πν −j4πν −j2πν − −H(ν) = H (ν)H (ν) = 1 e 1 + e = 1 e = e sin(2πν)1 2 2 2 4 2

Le risposte in ampiezza e in fase sono: 1|H(ν)| |= sin(2πν)|, 2 ( π − ∈2πν ν (0, 1/2)π 2− 2πν + sin(2πν) == ∠∠H(ν) π2 − − ∈2πν ν (−1/2, 0)2

(b) Per la sovrapposizione degli effetti, risulta 1 1 1 · y(n) = H(0) 1 + 2 H cos 2π n + .∠H4 4 4πn H(0) = 0 H(1/4) = 1/2, y(n) = cos Poiché e si ha .2

Esercizio 3 (10 punti)

∆ = 1. x = 1.

(a) Dalla condizione di normalizzazione, si trova Dalla condizione sulla media, si ricava 0

(b) Applicando la relazione tra CDF e pdf (aiutandosi con il grafico della pdf) si ha 1 ;0, x < 2x x 1 1 − ≤Z, x < 1; 2 4 2F (x) = f (u) du =X X 1 3x ≤+ , 1 x <;−∞  2 4 2 32≥1, x .

(c) Mista.

(d) Applicando note proprietà della CDF, si ha − 3 1 1− −P (X = 1) = F (1) F (1 ) = = ,4 4 23 1≤ − −P (1 < X 2) = F (2) F (1) = 1 = ,4 4− 1 3≤ ≤ − −P (1 X 2) = F (2) F (1 ) = 1 = ,4 4 − −12 34 12 3 34 1 1 1 |X| − −P < < = P < X < = F F = 0= .4 2 8 8