Tecnica delle costruzioni - esercitazione 3

Esercitazioni tecnica delle costruzioni

Anno Accademico 2012/2013

Eleonora Magnotta

Professore Diego Allaix

Esercitazioni tecnica delle costruzioni

Anno Accademico 2012/2013

Eleonora Magnotta

Professore Diego Allaix

Nella slide 11 noi usiamo le formule alle righe 1 e 3.

Definiamo alcuni elementi:

• "fy_al" = valore di calcolo;
• "fyk" = valore caratteristico;
• "k_p" = coefficiente del frattile normale 1,64;
• γ = _fyk/^fy_al = 1,148.

Il coeff. assume un valore pari a 1,15.

Tecnica delle costruzioni

Lezione 4

Tenev di Alex: riprendiamo le lezioni di giovedì scorso. Dobbiamo determinare la probabilità che le strutture siano insoddisfacenti per fare uso, a sommo, dei metodi probabilistici.

Definizione di probabilità

Esistono quattro definizioni diverse del concetto di probabilità, facendole alternativamente però alle definizioni stesse di probabilità.

1. Definizione classica

"La probabilità di un evento A è definita come il rapporto tra un risultato (o gli esiti) che determinano (o che realizzano) l'evento A, e il numero N di risultati possibili, purché tutti i risultati siano ugualmente possibili e mutuamente escludenti."

Mutuamente vuol dire che se avviene un risultato, tutti gli altri si escludono.

La formula sarà:

P(A) = _Na/^N

Vediamo ora due es. in modo tale da applicare la definizione appena vista. Supponiamo di voler calcolare la probabilità di ottenere croce durante il lancio di una moneta:

P(croce) = ¹/₂

Dove:

• P: probabilità;
• 1: solo croce;
• 2: o croce o testa.

La definizione classica si usa se conosco tutti i possibili risultati.

Passiamo al caso del calcolo del dado: supponiamo di voler calcolare la probabilità che esca un numero ≥ 3, quando lancio un dado:

P(numero ≥ 3) = ⁴/₆ = ²/₃

Complichiamo le cose lanciando 2 dadi; cerchiamo la probabilità di ottenere il numero 8 dal lancio dei 2 dadi (Somma):

P(8) = ⁵/₃₆

Dove:

• N = 36: deriva dall’avere sei righe per 6 colonne.
• N = 5.

La matrice sarà così: (tabella combinazioni)

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1

1,2...

□□□...

...□□□□□

1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6: casi favorevoli.

Dal punto di vista pratico non sempre possiamo usare questa definiz.

2. Definizione frequentista

Definizione usata per la determinazione delle probabilità nelle statistiche).

La stima delle probabilità dell’evento viene fatta solo dopo un’enorme quantità di prove. È una stima che verrà fatta a posteriori.

Consideriamo sempre il caso del lancio delle monete, noi consideriamo la probabilità della croce.

Facciamo una tabella dove andremo a scrivere ad ogni lancio se ho ottenuto testa o croce:

• Lanci:
• Risultato:
• N Croce:
• Freq Croce:
• 1 T 0 0
• 2 T 0 0
• 3 C 1 1/3
• 4 T 1 1/4
• 5 C 2 2/5

Nella colonna n croce si ottiene facendo la somma, e metterò uno nel momento in cui trovo croce, anche quando c’è la T, come nel caso seguente T.

Definiamo la frequenza assoluta “n” dell’evento di cui voglio calcolare la probabilità, che rappresenta il numero di volte che sia uscito il risultato croce.

Definiamo la frequenza relativa “F croce”:

f = n/N

Dove:

• “n”: frequenza assoluta;
• “N”: numero prove.

Per il calcolo della probabilità ho:

P(croce) = lim_N→∞ (f croce) = lim_N→∞ (n croce / N)

Questo tipo di definizione è chiaramente un metodo che permette di calcolare le probabilità anche quando non so i risultati. Metodo usato nell'ambito strutturale per le sciarette. Viene utilizzato per il metodo probabilistico, che è un metodo simulativo definito come metodo Montecarlo. Lo svantaggio di questo metodo è la mole di prove da effettuare.

3. Definizione soggettivista

"La probabilità P(A) di un evento A è il grado di fiducia che il singolo soggetto ha riguardo il verificarsi dell'evento A".

Il soggetto è una persona che viene interpellata, la sua opinione dipende dall'opinione personale e dalla sua formazione culturale. Questo tipo di definizione non ha nulla a che fare con prove sperimentali e/o formule matematiche. Viene molto spesso usato nei campi dell'ingegneria, quando ad es. capitano degli eventi molto rari (tipo tsunami, terremoti, ecc...).

4. Definizione assiomatica

Questa definizione si basa su una serie di assunzioni, alcune affermazioni prese per buone così come sono state.

Dobbiamo definire innanzitutto che cos'è un fenomeno aleatorio: è un fenomeno di tipo empirico che è caratterizzato da una proprietà particolare (come nel caso delle prove su di es).

Che le tue osservazioni in un insieme presi staccato di circostanze non con cui pervengono allo stesso risultato.

Posso aiutare e definire un called lo spazio campione Ω, che è l'insieme di tutti i possibili risultati che posso ottenere dalle mie tetten men aleatori.

Ad es: nel caso del lancio del dado:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Dove: i numeri tra le parentesi graffe sono numeri sulla faccia del dado.

Prendiamo l'esempio del dado a 6 facce uso il diagramma VENN:

In cui rappresento lo spazio campione con un rettangolo, a cui inserisco tutti i possibili risultati:

A

Avendo una rappresentazione di questo tipo posso riscoprire com'è l'evento A: {1, 2} essendo solo uno viene definito come evento elementare, ma posso anche definire l'evento B come {"risultati > 5": B = {5, 6}. Essendo l'evento composto da 2 risultati viene definito come "evento composto". Un evento è definito e composto ogni qual volta risulta essere composto da 2, 3, ..., o n risultati.

Vediamo quando un evento A implica un evento B, che è indicato da come A ⊆ B; vediamolo graficamente con il diagramma di VENN:

Ad es:

B = {"pari"}

A = {2}

Si ha che se l'evento A automaticamente si verifica B; però non è vero il viceversa cioè non è detto che se B è pari allora A è un numero pari.

Vediamo quando A e B sono mutualmente esclusivi, non hanno parti in comune.

A B

Vediamo la definizione di evento intersezione A n B: A n B questo è un sottoinsieme di A e B, che contiene valori che verificano sia l'evento A che B.

A B

Vediamo l'ultimo caso ovvero A e B eventi qualunque, posso analizzare e definire l'evento Unione A∪B:

A B

A∪B sarà dato dalla somma che verificano l'evento F, e l'evento B, dove A e B sono sempre eventi qualunque.

Analizziamo il caso di due eventi che non si escludono a vicenda. Anche in questo caso la somma degli eventi definisce A∪B.

A B

Applichiamo la logica degli eventi ad un es. strutturale

Consideriamo una struttura costituita da due aste, che definiscono una struttura reticolare, rispetto alla terza F:

Voglio vedere il legame tra le singole aste e la rottura della struttura.

Toto. Se si rompe la struttura ha finito di espletare la sua funzione perchè non c'è più niente che tiene in quella posizione.

Rottura struttura

Rottura asta 1 U (simbolo di muore)

Rottura asta 2

Sappiamo di non sapere niente della rottura delle aste:

Vediamo la relazione che si ha tra la rottura dell'asta 1 e la rottura dell'asta 2. Fa prima la rottura nell'elemento 1 quando:

S1 > R1

Dove:

• S1 = sollecitazione che è uno sforzo normale;
• R1 = resistenza, che sarà uno sforzo normale resistente, prodotto resistenza del materiale, per l'area trasversale del mio materiale.

La rottura dell'elemento 2 si ha quando:

S2 > R2

(Parziale caso asta 1)

Sappiamo ora che i progettisti abbiano usato lo stesso materiale per 1 e per 2 avremo dunque che:

R1 = R2 = R

Avremo quindi la rottura degli elementi quando:

Asta 1: S1 > R

Asta 2: S2 > R20

Per stabilire la relazione tra la rottura di 1 e 2 devo usare lo schema delle costruzioni.

Quanto vale lo sforzo in 2? È sufficiente usare il poligono che so (perché così si ha l'equilibrio delle forze) delle forze:

Diamo un valore all'angolo α:

1 - = 45°

sinα = √2/2 ≅ 0,7

S₁ = F / 0,7

S₂ = F

Ho rottura nell’asta 1 se:

F > 0,7R → deriva dalla condizione S₁ > R;

Ho rottura nell’asta 2 se:

F > R → deriva dalla condizione S₂ > R

Quindi ho:

0,7R R → F

Se R rompe 2 si rompe anche l’elemento 1. La rappresentazione a pag. 5 in fondo che definisce la rottura dei 2 elementi non è corretta; la rappresentazione giusta è: