Statistica univariata - esempio di prova d'esame svolta

Matematica e statistica per scienze biologiche

Statistica univariata, esempio di prova d'esame

A.A. 2021-2022

Recapitare pacchi

Un’azienda che si occupa di spedizione e ricezione di pacchi ha analizzato il numero di pacchi recapitati, i pesi degli stessi e il numero di ore necessarie alla consegna dei pacchi nell’ultimo trimestre. Inoltre, per verificare se con i nuovi sistemi di spedizione è diminuito il numero dei pacchi smarriti o recapitati oltre le 48 ore, sono stati analizzati i dati degli ultimi 4 trimestri. I risultati sono evidenziati nelle seguenti tabelle.

1. Calcola il peso medio, la classe mediana dei pacchi consegnati.
2. Per stabilire se è maggiore la variabilità dei pesi dei pacchi consegnati e del tempo necessario per recapitarli quale strumento useresti? Quale dei due parametri ha maggiore variabilità?
3. Osservando la tabella dei pesi, puoi affermare che il peso dei pacchi ha una distribuzione di tipo gaussiano? Motiva la risposta.
4. Trova l’indice di concentrazione del peso dei pacchi e l’indice di concentrazione del tempo necessario per la consegna. In quale dei due casi c’è maggiore equidistribuzione?
5. Considera l’indice I = _{pacchi consegnati}/_{pacchi spediti}. Che tipo di indice è?
6. Considerando I come indicatore di efficacia, puoi affermare che i nuovi sistemi di spedizione hanno migliorato l’efficacia del servizio?
7. Quale indice puoi usare per valutare l’efficienza del servizio?
8. I nuovi sistemi hanno migliorato anche il livello di efficienza o solo l’efficacia del servizio? Motiva la tua risposta.

Calcoli e risposte

a. Nell’ultimo trimestre sono stati consegnati 1600 pacchi, quindi la classe mediana in ordine di peso è quella che comprende le spedizioni n. 800-801. Dalla tabella delle frequenze cumulate deduciamo allora che la classe mediana è quella di 5-10 kg. Calcoliamo poi il peso medio tramite la media ponderata dei valori centrali delle classi di peso:

M_peso = ^{2,5 · 746 + 7,5 · 384 + 12,5 · 241 + 17,5 · 110 + 22,5 · 119}/₁₆₀₀ = ¹²³⁶⁰/₁₆₀₀ = 7,725 kg.

b. Il peso dei pacchi e il tempo necessario a consegnarli sono caratteristiche con unità di misura diverse, quindi per confrontare la variabilità della loro distribuzione è opportuno considerare il coefficiente di variazione:

C.V. = ^{deviazione standard}/_media

Abbiamo già calcolato il peso medio dei pacchi; determiniamo ora la deviazione standard:

σ_peso = √(^{(2,5 - 7,725)2 · 746 + (7,5 - 7,725)2 · 384 + … + (22,5 - 7,725)2 · 119}/₁₆₀₀) ≃ 6,243 kg.

Il coefficiente di variazione del peso dei pacchi è:

C.V._peso = ^6,243/_7,725 ≃ 0,81.

Il tempo medio di consegna dei pacchi, calcolato sempre come media ponderata dei valori centrali delle classi, è:

M_tempo = ^{10 · 100 + 18 · 1300 + 30 · 164 + 42 · 36}/₁₆₀₀ = ³⁰⁸³²/₁₆₀₀ ≃ 19,27 h = M_tempo ≃ 19 h 16 min.

La corrispondente deviazione standard vale:

σ_tempo = √(^{(10 – 19,27)2 · 100 + (18 – 19,27)2 · 1300 + … + (42 – 19,27)2 · 36}/₁₆₀₀) ≃ 5,487 h.

Il coefficiente di variazione del tempo di consegna è:

C.V._tempo = ^5,487/_19,27 ≃ 0,28.

Il coefficiente di variazione maggiore è quello relativo al peso dei pacchi, che quindi è la caratteristica con maggior variabilità.

c. No, la distribuzione dei pesi dei pacchi non è di tipo gaussiano, perché le frequenze non si distribuiscono in maniera più o meno simmetrica rispetto alla classe centrale seguendo una curva a campana. In questo caso, la curva della distribuzione è monotona decrescente.

d. Compiliamo la tabella delle frequenze e delle intensità relative cumulate, con riferimento al valore centrale delle classi di peso dei pacchi.

Disegniamo la spezzata di concentrazione.

- Triangolo con base 0,15 e altezza 0,47, quindi con area 0,0353.

- Trapezio con basi 0,38 e 0,15 e altezza 0,24, quindi con area 0,0636.

- Trapezio con basi 0,63 e 0,38 e altezza 0,15, quindi con area 0,0758.

- Trapezio con basi 0,78 e 0,63 e altezza 0,07, quindi con area 0,0494.

- Trapezio con basi 1,00 e 0,78 e altezza 0,07, quindi con area 0,0623.

La somma di questi parziali risulta 0,2863; l’indice di concentrazione relativo al peso dei pacchi vale:

R_peso = ^{area di concentrazione}/_{area di massima concentrazione} = ^{0,5 – 0,2864}/_0,5 = 0,4272.

Compiliamo ora la tabella e svolgiamo i calcoli relativi ai tempi di consegna.

Disegniamo la spezzata di concentrazione. Già dal confronto dei grafici possiamo affermare che i tempi di consegna risultano equidistribuiti meglio dei pesi dei pacchi. Calcoliamo l’indice di concentrazione relativo ai tempi di consegna, per conferma.

L’area sottostante alla spezzata di concentrazione è costituita in questo caso da un triangolo e da 3 trapezi:

- Triangolo con base 0,03 e altezza 0,06, quindi con area 0,0009.

- Trapezio con basi 0,79 e 0,03 e altezza 0,82, quindi con area 0,3362.

- Trapezio con basi 0,95 e 0,79 e altezza 0,10, quindi con area 0,0870.

- Trapezio con basi 1,00 e 0,95 e altezza 0,02, quindi con area 0,0195.

La somma di questi parziali risulta 0,4436; l’indice di concentrazione relativo ai tempi di consegna vale:

R_tempo = ^{area di concentrazione}/_{area di massima concentrazione} = ^{0,5 – 0,4436}/_0,5 = 0,1128.

Come avevamo dedotto dai grafici, R_tempo < R_peso e quindi i tempi di consegna risultano meglio equidistribuiti rispetto ai pesi dei pacchi.