Somma di tutti i momenti esterni

Somma di tutti i momenti esterni

Dinamica dei moti rotatori

Somma di tutti i momenti esterni

Dinamica dei moti rotatori

Relazione tra il risultante del momento esterno e il momento angolare di un sistema di particelle rispetto al centro di massa del sistema:

Sia r̅_cm il vettore del centro di massa C di un sistema di particelle rispetto all'origine di un sistema inerziale e sia r̅_i; il vettore posizione della particella i-esima di massa m_i rispetto al centro di massa C. Quindi r̅_i = r̅_cm + r̅_i (vedasi figura)

Definiamo ora il momento angolare totale del sistema di particelle rispetto al centro di massa C, come:

L̅ = ∑ r̅_i ∧ p̅_i dove p̅_i = m_i d_r̅i/d_t

1. Dimostrare che p̅_i = m_i d_r̅i/d_t = m_i d_r̅cm/d_t - m_i v̅_cm
2. Dimostrare poi che d/d_t ∑ r̅_i ∧ d_r̅i/d_t
3. Combinare i risultati delle parti (a) e (b) e dopo la definizione di centro di massa e la terza legge di Newton, dimostrare che: r̅_est = dL̅/dt dove r̅_est è la somma di tutti i momenti esterni agenti nel sistema rispetto al centro di massa.

a) Essendo 𝕡'_i=m_i ^d𝑖'_i/_dt ed essendo 𝑖'_i=𝑖_i−𝑖_cm, si ha: 𝕡'_i=m_i ^{d(𝑖_i−𝑖_cm)}/_dt =m_i ^d𝑖_i/_dt −m_i ^d𝑖_cm/_dt ma ^d𝑖_i/_dt =𝓷_i e ^d𝑖_cm/_dt =𝓷_cm per cui essendo m_i 𝑖'_i=𝕡'_i si ha 𝕡_i=𝕡'_i−m_i 𝓷_cm.

b) Essendo 𝕯=∑_i 𝑖'_i∧𝕡'_i, si ha 𝕮=∑_i 𝑖'_i∧(𝕡'_i−m_i 𝓷_cm)=∑_i [𝑖'_i∧𝕡'_i−m_i𝑖'_i∧𝓷_cm] e quindi ^d𝕮/_dt =∑_i ( ^d/_dt(𝑖'_i∧𝕡'_i)−^d/_dt (m_i 𝑖'_i∧𝓷_cm)==∑_i [ ^d𝑖'_i/_dt∧𝕡'_i+𝑖'_i∧ ^d𝕡'_i/_dt−m_i ^d𝑖'_i/_dt∧𝓷_cm−m_i𝑖'_i∧ ^d𝓷_cm/_dt]

^d𝕮/_dt =∑_i [^d𝑖'_i/_dt∧(𝕡_i −m_i 𝓷_cm)+𝑖'_i∧^d𝕡'_i/_dt−m_i𝑖_i∧ ^d𝓷_cm/_dt] Ora 𝕡_i−m_i 𝓷_cm=𝕡_i per cui ^d𝑖'_i/_dt∧(𝕡'_i−m_i 𝓷_cm)−^d𝑖'_i/_dt∧𝕡'_i=^d/_dt 𝑖_mi ^d𝑖'_i/_dt ∧ ^d𝑖'_i/_dt=0 come prodotto vettoriale di due vettori paralleli.

Si ha così:

^d𝕮/_dt =∑[𝑖'_i∧^d𝕡'_i/_dt−m_i𝑖'_i∧^d𝓷_cm/_dt]=∑[𝑖'_i∧(^d𝕡'_i/_dt −m_i ^d𝓷_cm/_dt)]==∑[𝑖'_i∧ ^d𝑖'_i/_dt ( 𝕡'_i)] da cui ^d𝕯/_dt =∑𝑖'_i∧ ^d𝑖'_i/_dt