Serie di funzioni, la serie di Fourier ed esercizi svolti

Analisi 2

Appunti ed esercizi svolti

Serie di Fourier

N° 1 Determina il periodo e la frequenza della funzione f(x) = sin 2x + cos 4x.

• La funzione f è una funzione sinusoidale?
• Calcola i suoi coefficienti di Fourier.

N° 2 Stabilisci se la funzione f(x) = cos x/4, x ∈ [-π; π], è pari, dispari o né pari né dispari e calcola i suoi coefficienti di Fourier.

Analisi 2

Appunti ed esercizi svolti

Serie di Fourier

N° 1 Determina il periodo e la frequenza della funzione f(x) = sin 2x + cos 4x.

• La funzione f è una funzione sinusoidale?
• Calcola i suoi coefficienti di Fourier.

N° 2 Stabilisci se la funzione f(x) = cos x/4, x ∈ [-π, π], è pari, dispari o né pari né dispari e calcola i suoi coefficienti di Fourier.

N° 1

Determina il periodo e la frequenza della funzione f(x) = sin 2x + cos 4x.

• È una funzione sinusoidale?
• Calcolare i suoi coefficienti di Fourier.

Il periodo delle funzioni f₁(x) = sin 2x e f₂(x) = cos 4x è dato rispettivamente da T₁ = π e T₂ = π/2.

Poiché f₁(x) e f₂(x) sono definite in tutto l’insieme dei numeri reali e poiché il rapporto T₁/T₂ = 2, la funzione f(x) = sin 2x + cos 4x è periodica di periodo T = T₁ = 2T₂ = π.

Pertanto la frequenza è data da ν = 1/π.

a. La funzione f(x) non è sinusoidale perché non si può scrivere nella forma y = a cos ωx + b sin ωx, con a, b, ω ∈ R.

b. Dato che la funzione f(x) è periodica di periodo T = π, lo è anche di periodo 2π.

Calcoliamo a₀ nel modo seguente:

a₀ = 1/π ∫_-π^π(sin 2x + cos 4x)dx = [ -1/2π cos 2x + 1/4π sin 4x ]_-π^π = 0.

Nel calcolo degli a_n, poiché le funzioni sin 2x cos nx sono dispari e le funzioni cos 4x cos nx sono pari, abbiamo a_n = 1/π ∫_-π^π(sin 2x + cos 4x)cos nx dx = 2/π ∫₀^πcos 4x cos nx dx == 2π [ 4 sin 4x cos nx - n cos 4x sin nx / 16 - n² ]₀^π = 0, con n ≠ 4;

a₄ = 2/π ∫₀^π(cos 4x)²dx = 1.

Nel calcolo dei b_n, poiché le funzioni sin 2x sin nx sono pari e le funzioni cos 4x sin nx sono dispari, abbiamo b_n = 1/π ∫_-π^π(sin 2x + cos 4x)sin nx dx = 2/π ∫₀^πsin 2x sin nx dx == 2π [ 2 cos 2x sin nx - n sin 2x cos nx / n² - 4 ]₀^π = 0, con n ≠ 2;

b₂ = 2/π ∫₀^π(sin 2x)²dx = 1.