Scarafaggio cammina sull'orlo di un disco

Scarafaggio cammina sull’orlo di un disco

Conservazione del momento angolare

Scarafaggio cammina sull’orlo di un disco

Conservazione del momento angolare

Uno scarafaggio di massa m cammina in senso antiorario sull'orlo di un piccolo disco circolare di raggio R e momento d'inerzia I, montato su un asse verticale con sostegno senza attrito. La velocitá dello scarafaggio relativa a terra é v, mentre il disco gira in senso orario con velocitá angolare ω₀. Lo scarafaggio trova una briciola di pane sul bordo e, naturalmente, si ferma. Qual é la velocitá angolare del disco dopo che lo scarafaggio si é fermato? Si conserva l'energia?

Poiché il momento della risultante delle forze esterne è nullo, si ha conservazione del momento angolare. Cioè L_i = L_f dove L_i è il momento angolare del sistema prima che lo scarafaggio si fermi ed L_f dopo. L_i = l_1i + l_2i, dove l_1i è il momento angolare dello scarafaggio e l_2i è il momento angolare del disco prima che lo scarafaggio si fermi.

Si ha l_1i = r x mv, da cui l_1i è un vettore diretto come l'asse di rotazione del sistema, ma verso il basso dalla regola della mano destra, di modulo l_1i = mvr. Cioè secondo z, l_1i ha componente: −mvr.

Poiché il disco ruota intorno ad un asse fisso si ha: l_2i = Iω₀. Essendo ω₀ diretto secondo l'asse z, verso l'alto, anche l₂ sarà diretto come z verso l'alto e avrà componente secondo z pari a: l_2i = Iω₀. Ne deriva che L_i, come somma di due vettori aventi la direzione di z, sarà diretto secondo z e avrà componente secondo