Rotolando sul piano inclinato

Rotolando sul piano inclinato

Dinamica rotazionale

Rotolando sul piano inclinato

Dinamica rotazionale

Analizzare il moto di una sfera e di un cilindro, entrambi di massa m e raggio R, che rotolano su di un piano inclinato di altezza h ed inclinazione θ, confrontando in particolare le loro accelerazioni, le velocità finali e le forze minime di attrito che consentono il moto rotatorio [momento d'inerzia del cilindro, I = (1/2)mR², momento d'inerzia della sfera, I = (2/5)mR²].

(Figura 7.4)

Esaminiamo dapprima il problema utilizzando le leggi della dinamica. Dall’analisi della Figura 7.4, dopo aver osservato che F_// = m g senθ e che F_⊥ = m g cosθ, possiamo scrivere, sia per il cilindro che per la sfera, due equazioni scalari per il moto traslatorio del centro di massa C ed una relativa alla rotazione attorno ad esso.

Indicata con f la forza di attrito, con M il suo momento meccanico riferito al centro di massa, con α la relativa accelerazione angolare, con a l’accelerazione lineare e con I il momento d’inerzia del corpo che rotola, otteniamo il seguente sistema di equazioni:

{ m a = m g senθ – f  m g cosθ – N = 0  M = I α (1)

Osserviamo che le (1) valgono, sia per il cilindro sia per la sfera, purché si ricordi che il momento d’inerzia del cilindro è I_C = (½) m R² mentre quello della sfera è I_S = (2/5) m R². Utilizzando la prima e la terza equazione del sistema (1), dopo aver osservato che M = f R (essendo f ⊥ R e quindi sen90°=1), otteniamo:

m a = m g senθ - I_α R

dalla quale, ricordando che α = a/R, possiamo dedurre l’accelerazione del centro di massa:

a= ^{m g sen θ} m + ^I R² (2)

Sostituendo nella (2) i valori, già citati, dei momenti d’inerzia relativi al cilindro ed alla sfera ed indicate con a_c ed a_s le rispettive accelerazioni del centro di massa, si trova:

{ a_c = ²/₃ g sen θ cilindro
a_s = ⁵/₇ g sen θ sfera (3)

Si osservi che entrambe le accelerazioni sono costanti e non dipendono né dalla massa né dal raggio dei due corpi che rotolano. Ricordando che l’accelerazione di un corpo che scivola senza attrito sul piano inclinato è a = g senθ e confrontati i coefficienti numerici dei risultati (3), possiamo concludere che:

a > a_s > a_c

Un’analoga relazione deve valere per le velocità finali nei tre diversi casi dato che, come già abbiamo osservato, le accelerazioni sono costanti. Dunque:

v > v_s > v_c

avendo indicato con v la velocità finale del corpo che scivola senza attrito, con v_s la velocità finale del centro di massa della sfera e con v_c quella del cilindro. Queste velocità sono facilmente deducibili dalle già note formule usate nei problemi di cinematica. Si ottiene così:

{ v = √2 g h
v_s = ⁵/₇ √2 g h
v_c = √²/₃ √2 g h