Rotazione e traslazione di un vettore

Matrici quadrate, rotazione e traslazione di un vettore, piani, sottospazi vettoriali

Matrici quadrate, rotazione e traslazione di un vettore, piani, sottospazi vettoriali.

1) Matrici quadrate in R²

Date A e B due matrici quadrate in R². Si dica quale tra le seguenti affermazioni è vera.

• □ det(A²) = (det A)²
• ■ det(AB) = det A · det B
• □ det(AB) = det A + det B
• □ det(kA) = k · det A
• □ det(A') = -det A

Per il teorema di Binet det(A²) = det(A · A) = det A · det A = (det A)².

2) Rotazione e traslazione

Siano α una rotazione e τ_v una traslazione di vettore v ≠ 0. Quale tra le seguenti affermazioni è falsa?

• □ α trasforma ogni retta r di R² in una retta parallela ad r stessa
• □ τ_v trasforma ogni retta r di R² in una retta parallela ad r stessa
• □ α è un'isometria
• □ τ_v è un'isometria
• ■ τ_v non ha punti fissi.

Con una rotazione la direzione della retta immagine di r cambia e quindi non è parallela alla retta di partenza.

3) Funzione lineare e nucleo

Sia f : R³ → R⁴ una funzione lineare e sia dim ker f ≠ 0. Quale tra le seguenti affermazioni su f non è vera?

• ■ dim ker f = 4 − dim Im f
• □ f non è iniettiva
• □ (dim ker f)⊥ = 3 − dim ker f
• □ (dim Im f)⊥ ≤ 4