risoluzioni esami di laboratorio termodinamica, prof Di Schio

2/5/2013 Testo esercitazione 4

Si consideri una barra solida di materiale con conducibilità termica K, avente sezione quadrata di lato 2L nel piano XY. Due parti adiacenti alla barra sono mantenute adiabatiche mentre due sono attraversate da un flusso di calore x unità di area uniforme e costante pari a q₀.

Al centro della barra è presente un foro circolare con diametro L/2, mantenuto a temperatura uniforme T₀. Utilizzando la temperatura adimensionale T̄ = K(T̄ - T₀) / q₀.L si determini il campo di temperatura e la potenza termica che attraversa il foro (per unità di profondità) valore numerico...

Problema adimensionale stazionario

Problema adimensionale stazionario no generazione interna Eq. Fourier ∇(∇K.T) = 0, ∇(∇T) = 0 ∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² = 0.

Condizioni contorno ∇T̄ = 0 → ∇T̄ = 0.

q₀ = -K(∂T/∂n) il segno dipende del fatto se si scalda o si raffredda.

q₀ = -K(∂T̄/∂x) - K.q₀.L/K T₀ = costante sempre nella struttura.

2/5/2013 Testo esercitazione 4

Si consideri una barra solida di materiale con conducibilità termica K, avente sezione quadrata di lato 2L nel piano XY. Due pareti adiacenti alla barra sono mantenute adiabatiche mentre due sono attraversate da un flusso di calore x unità di area uniforme e costante pari a Q.

Al centro della barra è presente un foro circolare con diametro L/2, mantenuto a temperatura uniforme T_o. Utilizzando la temperatura adimensionale T = K (T̅ - T_o)Q_oL si determini il campo di temperatura e la potenza termica che attraversa il foro (per unità di profondità) valore numerico...

Problema adimensionale stazionario

Problema adimensionale stazionario no generazione interna Eq. Fourier ∇(∇KT) = 0 ∶ ∇(∇T) = 0 ∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² = 0.

Condizioni contorno ∇T̅ M̂ = 0 → ∇T̅ M̂ = 0.

q_oL = K (T̅ - T_o).

q_o = - K ∂T/∂n il segno dipende dal fatto se si scalda o si raffredda.

q_o = - K ∂T/∂x - K q_oL_K dTT_o - esterno sempre nella struttura.

x = _X/_L.

q₀ = -k ^q₀k/_k ∂T/∂x ⇒ -∂T/∂x = 1 (condizione al contorno con + xx calore entrante, cioè se scaldo).

Potenza termica che attraversa il foro

Potenza termica che attraversa il foro (tramite legge di Fourier) Q̇ = ∫_s q̇·n̂ ds = ∫_s ∂T/∂n ds.

Q = ∫_s ∂T/∂n ds ———→ che deriva da:

Q̇ = ∫_s k ∂T/∂n ds.

Q̇ = ∫_s k₀χ ∂T/∂n L² / kΔ ds.

Q̇ = L² q₀ ∫_s ∂T/∂n ds [W].

Q̇ = Q̇/L²q₀ = ∫_s ∂T/∂n ds.

Svolgimento su COMSOL

• COMSOL → Heat Transfer → Conduction → Steady State Analysis
• Specify → Object → Quadrato, lato (2), centro (0,0)
• Draw → Specify Object → Circle → Raggio (¹/₄), centro (0,0)
• Selezione contorni (CTRL) → Button Difference
• Physics → Subdomain Settings → 1 → k = 1
• Physics → Boundary → 1, 2 → Uguali
• 3, 4 → Heat Flux q₀ = 1 +1. Scaldo T = 0 → Rappredo
• 5, 6, 7, 8 → Temperatura T₀ = 0
• Post Processing → Boundary Integration → 3, 5, 6, 7, 8 → Normal Heat Flux → OK

Value of integral = 3,975L [^W/_m].

1^a Prova

∇² = 0.

1. È un'equazione differenziale del 2^o grado algebrica.
2. Esempio fisico: conduzione stazionaria.
3. Può essere chiamata per una condizione stazionarità bidimensionale, con generazioni interne e costante, perché.
4. No, perché non c'è generazione.

Disegna un rettangolo 1:2, con 2 pareti adiabatiche opposte. Pareti adiabatiche e altre 2 pareti di Neumann.

• Continuo => Conduzione => Steady State Analysis
• Draw => Rectangle W=1 H=2
• Physics => Subdomain Setting => K=1 M=1
• Bonnory Setting => 1/1 => Neumann

2^a Prova

Trova R lungo di T di un rettangolo L:1/2, coppie depresso che adiabatiche e una isotermici a T₀.

T= K I - T₀ (adiabatico).

Pareti adiabatiche.

Isotermici.

Fourier.

b) post _tension ➔ post _movimiento ➔ _fuera ➔ _normal heat flux ➔ _fuera.

T = k(T _{fuera To}) ➔ 1) Adiabatic 2) Isotermo _(kT) = 0, kT _fuera = 90.

T = To _fuera To.

1) _T.n = 0 ➔_(kTfuera) = 0 ✔ Para: _V(kV) = 0.

2) T=0 ➔ To=0.

Adiabatic : Isotemia : Fuerra : Condizioni al contorno.

Condizioni del problema

• 2 pareti adiacenti: adiabatiche
• Diametro = L/2
• Lato = 2L
• Conduttività = k
• T_fisso = T_o
• Fluss = q_o

Problema di conduzione stazionaria ⟹ Eq : ⟹ k ∇² T = 0 ⟶ ∇ ( k ∇ T ) = 0.

∂ = ∂_x ⟹ ha grandezza [¹/_m] ⟹ ∇ = ∇² · L.

T = ^{T - T_oq_oL}/_k + T_o.

Sostituire nelle sue equazioni

Sostituire nelle sue eq : ∇/L ( k · ∇² ( ^{T - q_oL}/_k + T_o ) ) = 0.

⟹ ∇/L ( ^k/_L · ∇T_o = ^q_oL/_k + ∇T_o ) = 0.

T_o = cost.

∇/L ( ^q_ok/_k · ∇T ) = 0 ⟹ ^q_o/_L · ∇²T = 0.

⟹ ^L/_qo · ∇²T = 0 ⟹ ∇²T = 0.

Moltiplico per ^L/_qo perché non costanti.

Condizioni al contorno dimensionali

• Pareti adiabatiche → ∇T̅ ⋅ m̅ = 0
• Parete isoterma → T̅ = T₀
• Parete saldata → k ∇T̅ ⋅ m̅ = q₀

Legge di Fourier

1. ( ∇lₖ ⋅ T - q₀ ⋅ k K ) + T₀m = 0 → q₀ₖ ⋅ ∇T + o

∇ Tₘ = 0.

2. T₀ + T ⋅ q₀ ⋅ Lₖ = T₀ → T ⋅ q₀ ⋅ Lₖ = 0; T = 0
3. k ⋅ ∇lₖ ( T₀ + T ⋅ q₀ ⋅ tₖ ) ⋅ m = q₀

q₀ ∇Tπ q₀ → ∇T ⋅ m = 1.

COMSOL Multiphysics

• Comsol multiphysics
• Heat transfer
• Conduction
• Steady - state analysis
• Discor Physics
• Subdomain settings :
• Boundary settings
• k = 1
• T₀

Esame nuovo

Det. campo di T di un rettangolo di dimensioni L, L/2 2 pareti sono adiabatiche, una isoterma a T = T₀, ρ_g = q₀.

Variabili adimensionali : T = k T - T₀ / q₀ L ρ c_p (∂T/∂t) = - ∇ . q + q_g = ∇ . (k ∇ T) + q₀ ∇ . (k ∇ T) + q₀ = 0.

Adimensionalizzo : ∇ = ∇ / L T = T q₀ L / k + T₀   ⇒   ∇² T = - q₀ L ∂ (∇ T) = L.

Condizioni al contorno pareti adiabatiche → ∇ T . ã = 0 pareti isoterme → T = T₀.