Ricerca operativa - Esercizi

Università degli Studi di Napoli "Federico II" - Facoltà di Ingegneria

Corso di Ricerca Operativa, A.A. 2006/2007

Prof. Improta - Prova d'esame del 13 novembre 2007

Quesito 1

La società finanziaria "Case-Leases", con sede legale a Casal di Principe (CE), eroga prestiti finalizzati all'acquisto di immobili dietro ipoteca (mutui), e i suoi analisti dirigenti si trovano a definire il piano operativo per il 2008.

La società intende infatti "reinvestire" una somma pari a dieci milioni di euro, derivante dal prelevamento delle attività dell'anno precedente, attraverso la concessione di due tipologie di mutui ipotecari, detti rispettivamente mutuo di classe A e di classe B.

Ciascun mutuo di classe A viene concesso a privati che offrono solide garanzie per la restituzione, e consiste nella erogazione di un prestito di entità pari a 400.000 euro, a fronte di un valore attualizzato netto (VAN) dell'investimento pari ad un milione di euro; mentre il mutuo di classe B, invece destinato ad altri mutuatari, sono concessi a fronte di importi sempre rispettivi ai 200.000 euro di mutuo residuo.

Per ragioni legate al contenimento del rischio, il numero dei mutui di classe B non può eccedere la metà del numero di mutui di classe A.

Si determini, nel rispetto di tutti i vincoli presenti, il numero di mutui di classe A e B che la Case-Leases dovrà erogare, per massimizzare il valore attuale netto degli investimenti di capitale, pari alla somma dei VAN di tutti i mutui erogati.

• Si formuli il modello in programmazione lineare, illustrandone le diverse componenti ed elencando i vincoli nell'ordine in cui sono stati presentati;
• Si disegni il dominio di ammissibilità;
• Si disegni su grafico la funzione obiettivo e la direzione del gradiente;
• Si risolva graficamente il modello, individuando il vertice corrispondente alla soluzione ottima e i corrispondenti vincoli saturi;
• Si indichino tutte le soluzioni di base (ammissibili e non ammissibili), individuabili sul grafico o desumibili da esso, specificandone, per due di esse una ammissibile, l'altra non ammissibile - la composizione della base;
• Si calcoli analiticamente la soluzione ottima, utilizzando uno dei metodi di simplex noti;
• Si indichi sul grafico la successione dei vertici (non ammissibili ed ammissibili) toccati durante la ricerca dell'ottimo.

Quesito 2

Con riferimento alla soluzione ottima individuata durante lo svolgimento del quesito 1, si effettui l'analisi di stabilità in modo analitico:

• Per il termine noto relativo ad uno dei vincoli attivi;
• Per il coefficiente di costo relativo al VAN applicato sui mutui subprime, o di classe B;
• Si effettui l'analisi di stabilità in modo grafico, verificando e commentando la corrispondenza tra i risultati ottenuti, e gli intervalli di stabilità determinati in modo analitico.

Quesito 3

A causa di una improvvisa fluttuazione dell'indice EURIBOR, associata all'esplosione di una bolla speculativa, il VAN associato ai mutui subprime ora è pari a 500.000 euro, mentre il VAN dei mutui di classe A è sempre pari a un milione di euro.

A fronte del tableau ottimo relativo a questo numero, si calcoli analiticamente la nuova soluzione ottima.

Quesito 4

Dato il seguente problema (P) di programmazione lineare:

Min 50x₁+50x₂+100x₃;
s.t. x₁+x₃ ≥ 1
x₂+x₃ ≥ 1
x₁, x₂ ≥ 0

• Si formuli il problema duale (D), spiegando le operazioni effettuate per ottenerlo;
• Si disegni il dominio del problema duale (D), si individui la soluzione ottima e si determini il valore delle variabili duali all'ottimo. Che caratteristiche ha tale soluzione?
• Tenendo conto di un teorema che afferma che: se il problema duale ha soluzione ottima degenere, allora il problema primale ha molteplici soluzioni di base ottime, si determini una o più soluzioni di base ottime per il problema primale (P), utilizzando le condizioni di scarto complementare e la soluzione ottima del problema duale individuata;
• Perché se un problema ha molteplici soluzioni ottime, la soluzione ottima associata al problema duale è degenere?

Quesito 5

Con riferimento al grafo riportato in figura con i relativi pesi sugli archi.

• Si determini l'albero di copertura dei minimi percorsi relativi al nodo origine (nodo 1) utilizzando l'algoritmo di Dijkstra;
• Si formalizzi l'algoritmo di Dijkstra nel caso generale;
• Ipotizzando che il grafo considerato rappresenti il reticolo delle attività di un progetto, e che i costi sugli archi siano le durate delle attività, si determini la durata del progetto, il percorso critico e si costruisca il relativo diagramma di Gantt.

Tempo massimo a disposizione 3 ore. Rispondere ai quesiti (ed ai sottoquesiti) nel medesimo ordine in cui sono posti. Scrivendo in modo chiaro. Utilizzare fogli a quadretti, numerando i fogli e segnando cognome nome e matricola in alto a destra.