Ricerca e classificazione dei punti di discontinuità di una funzione - Es. 1

Esercitazione 1

Ricerca e classificazione dei punti di discontinuità di una funzione in R f(x) = |x² - 16| / x - 4

Ricerca e classificazione dei punti di discontinuità di una funzione in R f(x) = |x² - 16| / (x - 4)

Continuità in un punto

Sia f una funzione definita in un intorno (completo) di x₀; se \( \lim_{{x \to x_0}} f(x) = f(x_0) \), la funzione f si dice continua in x₀.

La funzione f è continua in x₀. Spostandoci di poco da x₀, per esempio in x₁, il valore f(x₁) si discosta di poco da f(x₀).

La funzione f non è continua in x₀. Spostandoci di poco da x₀, per esempio in x₁, il valore f(x₁) si discosta in modo significativo da f(x₀).

Punto di discontinuità di una funzione

Diremo che una funzione è discontinua in un punto x₀ ∈ ℝ (o che x₀ è un punto di discontinuità) in ciascuno dei seguenti due casi:

• Se il punto x₀ appartiene al dominio della funzione, ma la funzione non è continua in x₀;
• Se il punto x₀ non appartiene al dominio della funzione, ma è di accumulazione per esso.

Punto di salto (o discontinuità di prima specie)

Diremo che un punto di discontinuità x₀ di una funzione f è un punto di salto (o di discontinuità di prima specie) se i limiti di f per \( x \to x_0^- \) e \( x \to x_0^+ \) esistono finiti, ma sono diversi tra loro. In tal caso la differenza \( \lim_{{x \to x_0^-}} f(x) - \lim_{{x \to x_0^+}} f(x) \) si dice salto di f in x = x₀.

Discontinuità di seconda specie

Diremo che un punto di discontinuità x₀ per una funzione f è di seconda specie se almeno uno dei due limiti lim_x→x0^- f(x), lim_x→x0⁺ f(x) non esiste o è infinito.

Discontinuità eliminabile

Diremo che un punto di discontinuità x₀ per una funzione f è eliminabile in ciascuno di questi due casi:

• Se esiste finito lim_x→x0 f(x) ma f non è definita in x₀;
• Se esiste finito lim_x→x0 f(x) ma il valore del limite è diverso da f(x₀).