Quarta esercitazione baricentro e momenti

Ex 1: sezione rettangolare

Calcolare coordinate baricentro.

Dati: h, b.

G rispetto a x e y.

X_G = S_y / A

Y_G = S_x / A

A = ∫ dx dy = ∫₀^b ∫₀^h dx dy = x|₀^b · y|₀^h

S_y = ∫ x dx dy = ∫₀^b x dx ∫₀^h dy = x² / 2 · y|₀^h = b² h / 2

S_x = ∫ y dx dy = ∫₀^b dx ∫₀^h y dy = - - - - h² b / 2

Importante: definire bene estremi integrazione.

X_G = S_y / A = b² h / 2 b h = b / 2

Y_G = h / 2

Trovare G rispetto al sistema in blu baricentrico.

X_G = S_y / A

Y_a = S_x / A

L'area del rettangolo è lo stesso cambio solo estremi.

S_y = ∫ x dx dy = ∫ dx ∫ dy = ∫_-b/2^b/2 x dx ∫_-h/2^h/2 dy == x² / 2 |_-b/2^b/2 · y|_-h/2^h/2

= [(b/2)² / 2 - (-b/2)² / 2] ⋅ [b/2 - (-h/2)] = 0

Ex 1: calcolare coordinate baricentro

Dati: h, b.

A = b ⋅ h

S_y, S_x momenti statici rispetto a x e y.

X_G = S_y / A

Y_G = S_x / A

A = ∫ dx dy = ∫₀^b ∫₀^h dx dy = x |₀^b ⋅ y |₀^h

S_y = ∫ x dx dy = ∫₀^b x ∫₀^h dy = ∫₀^b x |₀^h = x² / 2 |₀^b ⋅ y |₀^h = b² h / 2

S_x = ∫ y dx dy = ∫₀^b dx ∫₀^h y dy = --- = h² b / 2

Importante: definire bene estremi in integrazione.

X_G = S_y / A = b² h / 2 ⋅ 1 / b h = b / 2

Y_G = h / 2

Trovare G rispetto al sistema in blu baricentrico.

X_G = S_y / A

Y_G = S_x / A

L’area del rettangolo è lo stesso cambiando solo estremi.

S_y = ∫ x dx dy = ∫ dx ∫ dy = ∫_-b/2^b/2 x dx ∫_-h/2^h/2 dy = x² / 2 |_-b/2^b/2 y |_-h/2^h/2 = [(b/2)² / 2 - (-b/2)² / 2] ⋅ [b/2 - (-h/2)] = 0

S_x = ∫∫ x dxdy = ... = 0

X_G = ⁰/_A = 0

Y_G = ⁰/_A = 0

Ma d'altronde è un sistema baricentrico per cui S_x S_y = 0

=> G (x_G; y_G) = (0,0)

Momenti d'inerzia rispetto al sistema in blu

Voglio calcolare il momento d'inerzia rispetto al sistema in blu.

Mom inerzia rispetto a x.

I_x = ∫ y² dxdy = ∫ dx ∫ y² dy = ∫ dx · ∫_-h/2^h/2 y² dy

= [x]_b/2^b/2 · [^y3/₃]_-h/2^h/2 = (b/2 - (-b/2))[^(h/2)3/₃ - ^(-h/2)3/₃]

= ¹/₁₂ b h³

I_y = ∫ x² dxdy = ... = ¹/₁₂ b³ h

I_xy = ∫ xy dxdy = ∫_-b/2^b/2 x dx ∫_-h/2^h/2 y dy = - ... = 0

I_xy = 0 => gli assi x₁, y₁ in blu sono principali.

Momenti d'inerzia rispetto al sistema nero

Voglio calcolare I_x, I_y, I_xy rispetto al sistema nero.

I_x = I_x1 + d_y² A = ¹/₁₂ b h³ + ^h/₂ · b h = ^{b h3}/₃

I_y = I_y1 + d_x² A = ¹/₁₂ b³ h + b²/₂ · b h = ^{b3 h}/₃

I_xy = I_xy1 + d_xd_y A = 0 + (b/2)(h)b h = ^{b2 h2}/₄ ≠ 0

Il sistema nero non è principale.

Ex 2: 1, 2, 3 are connected

Importante scrivere la tabellina.

Eseguo di calcolo uso la sommatoria per cui:

_Σx_G = _Σx_iA_i / _ΣA_i = 60 . 200 / (60 + 60 + 50) = 80 mm

y_G = _Σy_iA_i / _ΣA_i = 100 . 60 / (60 + 60 + 50) ≈ 26,667 mm

Momenti: inerzia.

I_x = _ΣA_i(y_i-y_G)² = 50(0 - 26,667)² _{... 100 (0 - 26,667)²}

≈ 2,933 . 10⁵ mm⁴

Il sistema non è principale.

Assi principali

Trovare gli assi principali:

Due lavorare Θ tale che &sub>Σ e_{no principali}

tan = 2 I_xy / I_y - I_x

Formula molto importante.

Θ ≈ -14,58^o

_S = _X, _m     nota:      I_y > I_x

I = ½ (I_x + I_y) + ½ √ ((I_x-I_y)² + 4 I_xy²)

I_m = ½ (I_x + I_y) + ½ √ ((I_x-I_y)² + 4 I_xy²)

Ex 3: sezione a T

Sezione a T, trovare baricentro rispetto x, y per trovare è diviso in due rettangoli.

Sistema baricentrico.

E poi uso il baricentro di 1 e 2 per fare un problema di area concentrata.

Per il    _{1    xa} = 5 mm    _ya = 9,5 mm    _A1 = 30 mm²

Per il    _{2    xa} = 5 mm    _ya = 4 mm    _A2 = 24 mm²

Ora costruisco la tabellina:

⇒ Il baricentro risulta:

      ∑_i x_i A_i         5*30 + 5*24

X_G =   ------------ = ------------------    = 5

      ∑ A_i       30 + 24

      ∑_i y_i A_i     9,5*30 + 4*24

y_G = ---------- = ------------------   = 7,06 mm

      ∑ A_i                     30 + 24

Calcolo i momenti: rispetto il sistema baricentrico.

I_x - ∑ I_x  = I_x + d_y² A₁ + I_2x + d_2y² A₂