Probabilità teorema di Bayes, leggi di De Morgan - esercizi svolti

Matematica e statistica per scienze biologiche

A.A. 2021-2022

Probabilità, esempio prova d'esame

Teorema di Bayes e leggi di De Morgan

Esempio di prova d'esame

La ditta di serramenti Security ha a disposizione dei suoi clienti due tipi di serrature di sicurezza. Ogni cliente può acquistare una serratura del primo tipo, una del secondo tipo, entrambe o nessuna. La probabilità di venderne almeno un tipo è del 55%. La ditta vende anche ganci di sicurezza: il gancio è venduto con una probabilità del 32%. La probabilità che un cliente acquisti il primo tipo di serratura e il gancio è del 15%, mentre l'acquisto del gancio e l’acquisto del secondo tipo di serratura sono due eventi indipendenti. Sapendo che fra le due serrature la più richiesta è la prima, venduta con una probabilità del 40%, determinate la probabilità:

• Di vendere la seconda serratura;
• Di vendere la seconda serratura o il gancio;
• Di vendere il gancio sapendo che è stata venduta la prima serratura;
• Di non vendere né la prima serratura né il gancio.

Indichiamo con A il primo tipo di serratura, con B il secondo tipo e con G il gancio. I dati che abbiamo sono:

• p(A) = ⁴⁰⁄₁₀₀,
• p(A ∪ B) = ⁵⁵⁄₁₀₀,
• p(A ∩ B) = p(A) · p(B)   (indipendenza tra A e B);
• p(G) = ³²⁄₁₀₀,
• p(A ∩ G) = ¹⁵⁄₁₀₀,
• p(B ∩ G) = p(B) · p(G)   (indipendenza tra B e G).

Calcolo delle probabilità

1. Calcoliamo il valore di p(B). Dalla somma logica di eventi otteniamo un’equazione in p(B). Infatti risulta p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B), ma, poiché p(A ∩ B) = p(A) · p(B) in quanto A e B sono eventi indipendenti, possiamo riscriverla nella forma p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A) · p(B). Sostituendo i dati, si ottiene l’equazione ⁵⁵⁄₁₀₀ = ⁴⁰⁄₁₀₀ + p(B) – ⁴⁰⁄₁₀₀ · p(B), da cui: p(B) = ¹⁵⁄₆₀ = ¹⁄₄ = 0,25 = 25%.
2. Calcoliamo il valore di p(B ∪ G). Dalla somma logica di eventi indipendenti, abbiamo: p(B ∪ G) = p(B) + p(G) – p(B) · p(G) = ¹⁄₄ + ³²⁄₁₀₀ – ¹⁄₄ · ³²⁄₁₀₀ = ^{100 + 128 – 32}⁄₄₀₀ = ¹⁹⁶⁄₄₀₀ = ⁴⁹⁄₁₀₀ = 0,49 = 49%.
3. Calcoliamo il valore di p(G | A). Dal teorema di Bayes p(G ∩ A) = p(A) · p(G | A), da cui otteniamo: p(G | A) = ^{p(G ∩ A)}⁄_p(A) = ¹⁵⁄₁₀₀ ⁄ ⁴⁰⁄₁₀₀ = ¹⁵⁄₄₀ = 0,375 = 37,5%.