Prima esercitazione richiami Fondamenti meccanica strutturale

Forze e momenti riepilogo

Forza è un tensore di ordine 1 in uno spazio 3D _{(Fx, Fy, Fz)}.

• Modulo
• Direzione
• Verso

Il momento di una forza rispetto ad un asse: se considero un piano c'è un punto _A in cui pongo un asse il momento sarà:

|_AP| sin d = d

|_AP| sin d = d

|_M| = |_F| · d

Coppia di forze

F₁ = F₂ = F

Il momento che si genera attorno al punto _A sarà:

|M_A| = F₂D₂ - F₁D₁

Con D distanza tra le due F.

M_A = F · D

Sistemi di forze equivalenti o equivalente

Un corpo soggetto a un # di F e M che chiamiamo sistema _A.

Lo stesso corpo è soggetto a un altro set _B (vedi immagine).

Per semplicità a ogni condizione usiamo un'opica.

Forze e momenti riepilogo

Forza è un tensore di ordine 1 in uno spazio 3D F (Fx, Fy, Fz).

• Modulo
• Direzione
• Verso

Il momento di una forza rispetto ad un asse; se consideriamo un piano c'è un punto A in cui passa un asse il momento sarà M.

M = F ∧ AP

|M| = |F| |AP| sin d

|M| = |F| · d

Coppia di forze

F₁ = F₂ = F il momento che si genera attorno al punto A sarà:

|M_a| = F₂ D₂ - F₁ D₁

M_a = F · D con D distanza tra le due F.

F₂ produce rotazioni orarie per noi ci conviene M positivo.

Sistemi di forze equipollenti o equivalente

Un corpo soggetto a una sola F e M che chiamiamo sistema A.

Lo stesso corpo è soggetto a un altro set B (vedi l'immagine).

Per semplicità a ogni condizione usiamo un'unica.

Una risultante A è equipollente a B se sono uguali le forze e i momenti, cioè le equazioni di equilibrio:

Se siamo in un 3D possiamo scrivere al massimo 3 per le forze e 3 per i momenti.

Esempio su spazio bidimensionale

Trovare F1_A, F2_A, M_HA tali che A ≡ B.

Equilibrio x: -F1_A = -F2_B

Equilibrio y: F1_A = F1_B

Momento o: -d1 F1_A + d2 F2_A = 0 + M_HB

Poiché T1 e F2 sono applicate al polo contributo coppia.

Risolvendo:

F2_B = F2_A

F1_A = F1_A

H_B = d2 F2_A - d1 F1_A

In 2D posso scrivere solo 3 eq linearmente indipendenti.

Il calcolo delle strutture si fa con queste equazioni della statica.

Equazioni cardinali statica

Il corpo si dice in equilibrio se la risultante di forze e momenti è nulla.

N_F∑ F_i = 0

N_M∑ N_i = 0

Vincoli

I vincoli li applichiamo a tiranti o travi, la trave ha lunghezza molto più grande della dimensione della sezione.

• Asse
• Sezione trasversale

Queste travi le schematizzeremo una linea.

La trave sarà 1D se la sezione d << L allora possiamo modi elemento monodimensionale.

La trave 3D in spazio ha 6 gradi libertà 3 trasl. 3 rot.

La trave 3D in 1D nella sezione ho 3 gradi libertà 2 trasl. 1 rot.

Sistemi di travi

I vincoli sono elementi che riducono i gradi di libertà di una struttura.

Carrello

Una trave vincolata al carrello riduce un grado di libertà: lo spostamento in alto non è permesso.

Se faccio il diagramma corpo libero.

Cerniera

La cerniera toglie tutte le forze incognite.

Incastro

L'incastro toglie tutti i gradi di libertà alle travi.

All'incastro devo calcolare 3 reazioni vincolari.

Cerniera interna

Se voglio calcolare V_A¹ e V_A² devo separare.

Quando riattacco le reazioni devono scomparire.

Le forze di reazioni indipendenti sono pari a 2(m-1) con m = numero di aste nella cerniera.

Struttura isostatica

Quando il numero di reazioni vincolari è = al # di eq della statica lin. ind. che posso scrivere -> è possibile calcolare tutte le reaz vin. usando l'Ip. corpi rigidi.

Strutture iperstatica

Quando il # reaz vincolari è > al # eq della statica lin ind che posso scrivere -> non è possibile calcolare tutte le reaz vin. usando solo l'Ip corpi rigidi ma devo usare l'ipotesi di corpi continui.

È importante calcolare il grado d'iperstaticità.