Esercitazione Vettori - Prima Esercitazione

PRIMA ESERCITAZIONE

giovedì 28 febbraio 2019 16:30

• GRANDEZZE DI TIPO
  • SCALARE
    • DENSITÀ, VOLUME, ENERGIA
  • VETTORIALE
    • CINEMATICHE
      • VELOCITÀ, ACCELERAZIONE
    • DINAMICHE
      • FORZA, MOMENTO

P_i = (P - O) = x_p î + y_p ĵ + z_p k̂

VERSORI

î ⁰₀ĵ ⁰₁k̂ ⁰₀

|î| = 1

P_i è IDENTIFICATO DA:

• MODULO
• DIREZIONE
• VERSO
• PUNTO DI APPLICAZIONE

MODULO |P_i| = √(x_i² + y_i² + z_i²)

OPERAZIONI CON I VETTORI:

MECCANICA Pagina 1

PRIMA ESERCITAZIONE

giovedì 28 febbraio 2019 16:30

GRANDEZZE DI TIPO

• SCALARE
  • DENSITÀ
  • VOLUME
  • ENERGIA
• VETTORIALE
  • CINEMATICHE
    • VELOCITÀ
    • ACCELERAZIONE
  • DINAMICHE
    • FORZA
    • MOMENTO

^p _P

^p'

^p' = (P-O₀) = x_p ⁱ + y_p ^j + z_p ^k

ⁱ, ^j, ^k VERSORI

ⁱ _{1 0 0}

^j _{0 1 0}

^k _{0 0 1}

||ⁱ|| = 1

^P' è identificato da :

• MODULO
• DIREZIONE
• VERSO
• PUNTO DI APPLICAZIONE

MODULO ||^p'|| = √x_p² + y_p² + z_p²

OPERAZIONI CON I VETTORI:

MECCANICA Pagina 1

• Somma/Differenza

_a + _b = _c

_a − _b = _c

• Prodotto Scalari

c = _a ⋅ _b = ab cos

c = (a_xi̅ + a_yj̅ + a_zk̅) (b_xi̅ + b_yj̅ + b_zk̅) = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

E_s:

Potenza

F̅ = 3 i̅ + 2 j̅ [N]

̅ = -1i̅ + 4j̅ [m/s]

W_v = F̅ ⋅ ̅ = (3 i̅ + 2 j̅) ⋅ (-1i̅ + 4j̅) = -3 + 8 = 5 W

• Prodotto Vettoriale

c̅ = ̅ x ̅ ~ è diverso da ̅ x ̅

|c̅| = a ⋅ b ⋅ sin ~ è l’area del parallelogramma

c̅ = (a_xi̅ + a_yj̅ + a_zk̅) x (b_xi̅ + b_yj̅ + b_zk̅)

MECCANICA Pagina 2

= (a_yb_z - a_zb_y) i - (a_xb_z - a_zb_x) j + (a_xb_y - a_yb_x) k

= ijka_xa_ya_zb_xb_yb_z

E₅:

M_r (p-o) × F_r = ( x_r i + y_r j ) × ( F_x i + F_y j ) .

x_rF_y k - y_rF_x k

CINEMATICA

(p-o) = x_p i + y_p j

|p-o| = ^{x_p2 + y_p2}√ → r

(p-o) = r cosθ i + r sinθ j

tan θ = ^y_p / _xp

TRAETTORIA ρ(t) = x(t) i + y(t) j

FORMA VETTORIALE

OPPURE IN FORMA PARAMETRICA

E₅:

{ x(t) = 3t

y(t) = .L²

t: x / 3

→ y = 5 (^{x / 3})² UNA PARABOLA

MECCANICA Pagina 3

x(t) = 3t

y(t) = 5t²

t:

t = ^x/₃

⇒ y = 5 ( ^x/₃ )²

È UNA PARABOLA

PUÒ ESSERE UTILE RAPPRESENTARE NEL CAMPO COMPLESSO

FORMA CARTESIANA: p̅ = x + iy

FORMA ESPONENZIALE: p̅ = re^iθ

FORMULA TRIGONOMETRICA: p̅ = r cos θ + i r sin θ

DOVE z̅ È IL MODULO

θ È L'ARGOMENTO

POSSO PASSARE A:

e^iθ = cos θ + i sin θ

i0 = 1

i1 = i

i2 = -1

i3 = i

Es 1:

PUNTO SU TRAIETTORIA CIRCOLARE

R: COSTANTE

θ: θ(t)

1. VELOCITÀ = ?

2. ACCELERAZIONE = ?

MECCANICA Pagina 4

(r - o) ⋅ x(t)_i + y(t)_j = x(θ(t))_i + y(θ(t))_j = R cos θ _i + R sin θ _j

• x = R cos θ
• y = R sin θ

^_r ^. = 𝑑 ^d𝑑 / _d𝑃 - x(t)ⁱ + y(t)^j = d_x / dθ ⁱ + d_y / dθ ^j = - R sin θⁱ + R cos θ^j = 𝑘ⁱ + 𝑙^j

= R ^𝑑⋅ (- sin θⁱ + cos θ^j)

^_𝑑 = ^_