Parabola traslata, vettore ed equazioni della trasformazione

Complementi di matematica

Complementi di matematica Trasformazioni geometriche Esercizi svolti Parabola traslata Vettore della trasformazione Equazioni della trasformazione

Trasformazioni geometriche

Esercizi svolti

Parabola traslata

Vettore della trasformazione

Equazioni della trasformazione

Problema

Sia γ la parabola di equazione y = x² − 4x. Determina l'equazione di γ′, traslata di γ rispetto al vettore vō(−1; 3), e l'equazione di γ″ che si ottiene ruotando γ′ rispetto all'origine di π/4. Scrivi l'equazione della trasformazione che trasforma γ in γ″.

Scriviamo le equazioni della traslazione di vettore vō(1; 3).

t_vō: [ x′ = x − 1 y′ = y + 3

Ricaviamo le equazioni della traslazione inversa:

t_vō⁻¹: [ x = x′ + 1 y = y′ − 3

Per trovare γ′ sostituiamo le equazioni di t_vō⁻¹ nell'equazione di γ e togliamo gli apici.

y′ − 3 = (x′ + 1)² − 4(x′ + 1) − y′ = (x′)² + 2x′ + 1 − 4x′ − 4 + 3 → y′ = (x′)² − 2x′

L'equazione di γ′ è y = x² − 2x.

Scriviamo le equazioni della rotazione di centro l’origine O e angolo α = π/4.

r(O; π/4): [ x′ = x cos π/4 − y sin π/4 y′ = x sin π/4 + y cos π/4

Dobbiamo determinare le equazioni della trasformazione inversa. La rotazione inversa di r(0; α) è la rotazione r(0; − α) di angolo − α, quindi:

r⁻¹(0; π/4): [ x = x′ cos(−π/4) − y sin(−π/4) y = x′ sin(−π/4) + y′ cos(−π/4) { x = x′ cos π/4 + y sin π/4 y = −x′ sin π/4 + y′ cos π/4 → { x = √2/2 x′ + √2/2 y′ y = − √2/2 x′ + √2/2 y′

Applichiamo ora la trasformazione a γ′; otteniamo l’equazione della curva γ″.

− √2/2 x′ + √2/2 y′ = (√2/2 x′ + √2/2 y′)² − 2 (√2/2 x′ + √2/2 y′)

Eliminando gli apici e svolgendo i calcoli

− √2/2 x + √2/2 y = 1/2 x² + xy + 1/2 y² − √2 x + √2 y