Problemi sulla parabola: i fasci

Problemi vari di geometria analitica

Fasci di parabole

Problemi vari di geometria analitica

Fasci di parabole

Problema 1

Data l'equazione y = (k + 2)x² − 2kx + 1 + 3k di un fascio di parabole, vogliamo determinarne il tipo e successivamente scrivere l'equazione della parabola il cui vertice appartiene alla retta x = 3.

Per determinarne il tipo, dobbiamo stabilire se ci sono dei punti base; possiamo allora intersecare due qualsiasi parabole del fascio, siano esse le generatrici o due qualsiasi altre, oppure una qualsiasi parabola con la retta la cui equazione appartiene al fascio (si ottiene per k = −2).

Seguiremo questa seconda possibilità che risulta più semplice nei calcoli.

Per k = −2 otteniamo y = 4x − 5 (retta del fascio).

Per k = 0 otteniamo y = 2x² + 1 (parabola generatrice del fascio).

Il sistema delle due equazioni non ha soluzioni reali. Il fascio non ha dunque punti base.

Fra tutte le parabole del fascio, quella il cui vertice appartiene alla retta data ha l'ascissa del vertice uguale a 3.

Quindi, essendo \( \frac{b}{2a} = \frac{2k}{2(k+2)} \) basta porre \( \frac{2k}{2(k+2)} = 3 \).

Risolvendo tale equazione otteniamo k = −3. Sostituendo il valore trovato al posto di k nell’equazione del fascio, si ha l’equazione della parabola richiesta: y = −x² + 6x − 8.

Problema 2

Dato il fascio di parabole di equazione (k + 1)x + (1 − k)y² − 8ky − 19k − 3 = 0:

• Troviamo le due generatrici e individuiamo le caratteristiche del fascio.
• Determiniamo per quale valore di k si ottiene la parabola che ha vertice sulla retta r : y = 2x e troviamo poi l'equazione della parabola corrispondente.

Generatrici e caratteristiche del fascio

Per trovare le due generatrici riscriviamo l'equazione del fascio raccogliendo k:

x + y² − 3 + k(x − y² − 8y − 19) = 0

Le due generatrici hanno quindi equazione: x = −y² + 3 e x = y² + 8y + 19 e sono parabole con l'asse di simmetria parallelo all’asse x.

Troviamo i punti base, se esistono, intersecando le due generatrici: \( \left\{ \begin{array}{l} x = −y^2 + 3 \\ x = y^2 + 8y + 19 \end{array} \right. \)

Il sistema non ha soluzioni reali, quindi il fascio non ha punti base.

In alternativa si possono attribuire due valori a k e risolvere il sistema formato dalle equazioni ottenute; i valori più "comodi" da sostituire sono k = 1 e k = −1:

2x − 8y − 22 = 0

Anche in questo caso il sistema non ha evidentemente soluzioni.