Numeri colpessi esercizi e teoria

Analisi 1: numeri complessi

Introduzione ai numeri complessi

Nel caso in cui abbiamo un'equazione che presenta un determinante, le radici di x² + bx + c = 0 con Δ < 0, un numero negativo se consideriamo l’insieme dei numeri reali non è calcolabile. Dobbiamo comprendere un insieme più grande che è quello dei numeri complessi ℂ.

Si definisce l’unità immaginaria con i² = −1. Dunque sarà possibile andare ad individuare le radici della nostra equazione. I numeri complessi del tipo a + bi, presenteranno una parte reale e una parte complessa.

Calcolo delle soluzioni e rappresentazione

Le soluzioni dell’equazione saranno: x_1,2 = −b ± √(Δ)/2a. Se un numero complesso è possibile esprimere come z = a + bi, è possibile andare ad individuare il modulo, il reciproco, e la fase del numero. Si rappresenta il numero nel piano complesso.

Proprietà dei numeri complessi

Modulo: |z| = √(a² + b²), è possibile scrivere il numero complesso come segue: z = |z|(cos θ + i sin θ). Da qui si individua la formula di Eulero: z = |z|e^iθ.

Il coniugato sarà: z̅ = a − bi.

Operazioni con i numeri complessi

Siano dati due numeri complessi z₁ = a + bi e z₂ = c + di. La somma tra due numeri complessi sarà: z₁ ± z₂ = (a ± c) + (b ± d)i.

Il prodotto sarà: z₁ * z₂ = ac − bd + (ad + bc)i, si effettua normalmente ricordando che i² = −1.

Il reciproco sarà: 1/z = 1/(a + bi) = (a − bi)/(a² + b²).

Il quoziente sarà: z₁ / z₂ = (ac + bd)/(c² + d²) + ((bc − ad)/(c² + d²))i.