Numeri complessidef
Il campo dei numeri ℂ è l'insieme ℝ2 dotato delle seguenti due operazioni.
∀ z1, z2 ∈ ℂ, z1 = (x1y1), z2 = (x2y2)
Se z1 + z2 = (x1y1) + (x2y2) ::= (x1 + x2y1 + y2)
z1 ⋅ z2 = (x1y1) ⋅ (x2y2) ::= (x1x2 - y1y2x1y2 + x2y1)
Queste due operazioni sono commutative e associative e il prodotto è distributivo rispetto alla somma.
Se z = (xy) ∈ ℂ
Re(z) = x ⇐ parte reale di z
Im(z) = y ⇐ parte immaginaria di z, x ∈ ℝ
Se Im(z) = 0 () z = (x0) allora z è detto numero reale e scriviamo z = (x0) := x
Se Re(z) = 0 () z = (0y) allora z è detto numero immaginario (puro).
Il modulo (o norma) di un numero complesso z = (xy) è la sfera di ℝ2
|z| = ||(xy)|| = √x2 + y2
Il coniugato complesso di z = (xy) è (x-y)
Numeri complessidef
Il campo dei numeri ℂ è l'insieme ℝ2 dotato delle seguenti due operazioni.
∀ z1, z2 ∈ ℂ, z1 = (x1)/(y1), z2 = (x2)/(y2)
Operazioni
Si ha:
z1 + z2 = (x1)/(y1) + (x2)/(y2) := (x1 + x2)/(y1 + y2)
z1 · z2 = (x1)/(y1) · (x2)/(y2) := (x1x2 − y1y2)/(x1y2 + x2y1)
Queste due operazioni sono commutative e associative e il prodotto è distributivo rispetto alla somma.
Se z = (x)/(y) ∈ ℂ
Re(z) = x ← parte reale di z, x ∈ ℝ
Im(z) = y ← parte immaginaria di z, y ∈ ℝ
Se Im(z) = 0 (⇔ z = (x)/(0)) allora z è detto numero reale e scriviamo z = (x)/(0) := x
Se Re(z) = 0 (⇔ z = (0)/(y)) allora z è detto numero immaginario (puro).
Il modulo (o norma) di un numero complesso z = (x)/(y) è lo stesso di ℝ2
|z| = ||(x)/(y)|| = √x2 + y2
Il coniugato complesso di z = (x)/(y) è (x)/(−y)
- Il elemento (0)(1) è detto unità immaginaria ed è indicato con i = (0)(1)
- i2 = (0)(1) (0)(1) = (0 • 1 - 1 • 0)(0 • 0 + 1 • 1) = (-1)(0) = -1
- Ogni numero complesso z può scrivere: z = (x)(y) = (x)(0) + (0)(y) = (x)(0) + (0)(1) (y)(0) = x + i y (forma algebrica o cartesiana)
- Supponiamo i = √-1
- Siano z1 = x1 + i y1 = (x1)(y1) z2 = x2 + i y2 = (x2)(y2)
z1 + z2 = (x1 + i y1) + (x2 + i y2) = (x1 + x2) + i (y1 + y2) = (x1 + x2)(y1 + y2)
z1z2 = (x1 + i y1)(x2 + i y2) = x1x2 + i x1y2 - i2 x2y2 + i2 y1y2 = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1) = (x1x2 - y1y2)(x1y2 + x2y1)
Esempio
z = 3 - 2i = (3)(-2)
z1 + z2 = 3 - 2i + (-1 - i) = 2 - 3 i = (2)(-3)
z2 = -1 - i = (-1)(-1)
z1 - z2 = (3 - 2i)/(-1 - i) = -3 - 3i + 2i + 2 i2 = -5 - i = (-5)(-1)
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