Molla ideale compressa

Molla ideale compressa

La conservazione dell’energia

Molla ideale compressa

La conservazione dell’energia

Una molla ideale 5 di massa trascurabile può essere compressa di 1,0 m da una forza di 100 N. Questa stessa molla è posta alla fine di un piano inclinato liscio che forma un angolo Θ = 30° con l’orizzontale. Una massa M di 10 Kg è lasciata cadere da ferma dal vertice del piano inclinato e si arresta momentaneamente dopo aver compresso la molla di 2,0 m.

• Di quanto si sposta la massa prima di fermarsi?
• Qual è la velocità della massa un istante prima di toccare la molla?

Determinazione della costante elastica

Il fatto che la molla possa essere compressa di d = 1 m da una forza F = 100 N ci serve per determinare la costante elastica K della molla.

Si ha F = Kd da cui K = F/d = 100 N/m. Durante la caduta della massa, non ci converrà ragionare in termini di forze, in quanto la forza esercitata dalla molla è legata, in modulo, alla posizione del blocco e quindi ricaveremo un’equazione differenziale del 2^o ordine.

Ragionando in termini di energia, possiamo invece ricavare quanto richiesto con mezzi matematici più semplici.

Quando il blocco si trova sul vertice del piano inclinato, se è nulla l’energia potenziale gravitazionale nella posizione dell’estremo libero della molla non sollecitata e se h è l’altezza del vertice rispetto a tale posizione, l’energia potenziale dovuta alla presenza della sola forza gravitazionale è U₀ = mgh.

Mentre l’energia cinetica K₀ è nulla. Ne deriva che l’energia meccanica totale posseduta dal corpo è mgh = mgl senΘ se indichiamo con l la distanza dal vertice del piano inclinato, dell’estremo libero della molla.

Poiché le forze che intervengono sono di tipo conservativo, l’energia meccanica si conserva. Se u è lo spazio di cui viene compressa la molla, la massa, nella posizione di massima deformazione, ha energia potenziale U dovuta alla forza gravitazionale e alla forza esercitata dalla molla.

U = -mgu sinΘ + 1/2 ku²

L’energia cinetica k in tale posizione è nulla, perché in essa la massa si ferma momentaneamente; da k₀ + U₀ = k + U, si ha:

mgL sinΘ = -mgU sinΘ + 1/2 ku² da cui:

L = ku² - U / 2mg sinΘ = 2 - 100(2)² - 2 = 2 m / 2 • 10 • 9,8 • 1/2

Da qui, prima di fermarsi, la massa percorre uno spazio S = L + u = 2 + 2 = 4 m

Velocità prima di toccare la molla

La velocità della massa un istante prima di toccare la molla si ricava ancora con la conservazione dell’energia. Nella posizione suddetta l’energia potenziale U₁ è nulla, perché il termine gravitazionale è stato posto nullo in tale posizione mentre quello dovuto alla forza esercitata dalla molla è nullo perché non si ha deformazione della molla stessa.

L’energia cinetica è invece K₁ = 1/2 mv²

Si ha allora dalla K₁ + U₁ = K₀ + U₀