Metodi matematici per l'ingegneria - integrale con i residui

Questo è un integrale abbastanza semplice, e già non si trova...

∫₀^πsin²tdt = = ¹/₂∫₀^π(1 - cos2t)dt = = ¹/₂∫₀^π(1 - e^j2t + e^-j2t)/2 dt = = ¹/₄∫₀^π(2 - e^j2t - e^-j2t)dt =

Sostituendo e^j2tz, j2t = log z, dt = ^dz/_j2z, quando t varia tra 0 e 2π z si muove lungo la circonferenza unitaria = ¹/₄∫_∮(2 - z - ¹/_z) ^dz/_j2z =

Portando j al numeratore si cambia segno. = ^j/₈∫_∮^{z2 - 2z + 1}/_z²dz

z₀ = 0 è un polo del secondo ordine, calcolo dei residui: R(0)= ^d/_dt(^{z2 - 2z + 1,}₎z - 2,)_{z = 0} = -2

^j/₈∫_∮ ^{z2 - 2z + 1}/_z²dz = ¹/_4j∫₀^π sin²tdt = j2πR(0)= ^2πj/_4j = π/2

L'integrale dovrebbe venire π...

Questo è un integrale abbastanza semplice, e già non si trova...

_{∫^p0 sin²t dt =1/2 ∫^p0 (1 - cos 2t) dt =1/2 ∫^p0 (1 - e^j2t + e^-j2t / 2) dt =1/2 ∫^p0 1 - e^j2t - e^-j2t / 2 dt =}

Sostituendo e^j2tz, j2t = log z, dt = dz / j2z, quando t varia tra 0 e 2p z si muove lungo la circonferenza unitaria_{= 1/4 ∮ (2 - z - 1 / z) dz / j2z =}

Portando j al numeratore si cambia segno._{= j/8 ∮ z² - 2z + 1 / z² dz}

z₀ = 0 è un polo del secondo ordine, calcolo dei residui:_{R(0) = d/dt (z^-2z + 1)z→0 = (2z - 2)z→0 = -2}

_{j/8 ∮ z² - 2z + 1 / z² dz = 1/4j∫^p0 sin²t dt = j2pR(0) = 2pj / 4j = p / 2}

L’integrale dovrebbe venire p...

Questo è l'integrale del compito del 2 Feb scorso.

^2π∫₀ ^dt/_{(1 + sin² t)} = = ^2π∫₀ ^dt/_{(1 + (1 - cos 2t)/2)} = = ^2π∫₀ ^4dt/_{(3 - cos 2t)} = = 4^2π∫₀ ^dt/_{(3 - e^j2t + e^-j2t/2)} = = 16^2π∫₀ ^dt/_{(6 - e^j2t - e^-j2t)}

Ponendo e^j2t = z, 2jt = log z, dt = ^dz/_{2 j z}, quando t varia tra 0 e 2p, z varia sulla circonferenza unitaria: 16^2π∫₀ ^dt/_{(6 - e^j2t - e^-j2t)} = = 16∫ ¹/_{(6z - z² - 1)} ^dz/_{2 j z} = = 8 ∫ ^dz/_{j (6z - z² - 1) z} ≠= 8 ^z/_{j (z² - 6z + 1)} ^dz

Il denominatore ha zeri: z = 3 ± √9 - 1 = 3 ± 2√2

(z² - 6z + 1) = (z - 3 - 2√2) (z - 3 + 2√2)

Solo il polo positivo si trova nel cerchio dove integriamo.