Matrice di rango n 2

Matrice di rango n-2, applicazione non lineare, sottospazi vettoriali, autovalore, piani

Matrice di rango n-2, applicazione non lineare, sottospazi vettoriali, autovalore, piani.

1) Matrice di rango n − 2

Sia A una matrice di tipo n × n di rango n − 2. Quante sono le soluzioni del sistema omogeneo AX = O?

• ∞²
• xⁿ⁻²
• ∞¹
• ∞ⁿ⁻¹
• Nessuna

Dal teorema di Rouché–Capelli abbiamo subito che il sistema ammette ∞^n−(n−2) = ∞² soluzioni.

2) Applicazione non lineare

Quali tra le seguenti applicazioni f : R_n[x] → R_n[x] con n ≥ 3 non è lineare?

• f(a₀ + a₁x + … + a_nxⁿ) = a₀² + a₁²x + … + a_n²xⁿ
• f(a₀ + a₁x + … + a_nxⁿ) = a₀ + a₁x + …
• f(a₀ + a₁x + … + a_nxⁿ) = a₀
• f(a₀ + a₁x + … + a_nxⁿ) = a₁x + a₃x³
• f(a₀ + a₁x + … + a_nxⁿ) = 0

Siano ⟡ = a₀ + a₁x + … a_nxⁿ e ⟡ = b₀ + b₁x + … + b_nxⁿ

f ( ⟨ + ⟨ ) = f ( ( a₀ + b₀ ) + (a₁ + b₁ ) x + … ( a_n + b_n ) xⁿ ) = ( a₀ + b₀)² + ( a₁ + b₁)² x + … + ( a_n + b_n)² xⁿ

Ma ( a₀ + b₀ )² + ( a₁ + b₁ )² x + … +( a_n + b_n )² x ⁿ ≠ a₀² + b₀² + ( a₁² + b₁² ) x + … + ( a_n² + b_n² ) x ⁿ = f( ⟡ ) + f( ⟡ )

3) Sottospazi vettoriali

Siano U e V due sottospazi vettoriali di W. Allora U + V è:

• Il più piccolo sottospazio che contiene sia U che V.
• Il più grande sottospazio che contiene sia U che V.