Risoluzione di sistemi di equazioni con parametro con matrice associata 3 4
Data la funzione: f : R R f x , y , z k x− y , yk z , x y− z , x− y =2
Stabilire per quali valori del parametro k, il vettore v=(3,3,1,0) appartiene all'immagine di f.
1. Matrice associata completa
Scrivere la matrice associata completa (ridurla se possibile):
2 k 0 3−10 1 k 3A∣ v= 1 1 1−11 0 0−1
Affinché il sistema sia risolvibile bisogna avere ρ(A) = ρ(A|v).
Il rango della matrice A é 3, quindi per fare in modo che lo sia anche quello di (A|v), bisogna imporre il determinante di (A|v) = 0.
2. Calcolo del determinante della matrice completa
Calcolo del determinante della matrice completa (si trova il polinomio caratteristico):
∣ ∣ ∣ ∣0 3 2 k 0 3−1det A∣ B=−1⋅ −1⋅ =1 k 3 0 k 31 1 1 1−1 −1k33−1−k k k3−3 k= −1⋅[− ]−1⋅[2 ] =2k k k= −1⋅[−k −3−3−3k ]−1⋅[2 6 −3 ] =2k= −2 k 6
3. Valori di k
Trovando le radici del polinomio caratteristico si trovano i valori di k che rendono il rango della matrice (A|v) uguale al rango della matrice (A).
{ k =21 148−1± −1±7k = = 31,2 k−4 −4 =−2 2
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