Rango di una matrice

Proprietà

1) Se A è invertibile anche l'inversa è invertibile e det (A^-1) = ¹/_{det (A)}

2) (A·B)^-1 = B^-1·A^-1

Dim.

1) Se A è invertibile ⇒ A·A^-1 = A^-1·A = I_n

(B·A)^-1 B·A^-1 = A^-1·B = I_m

A^-1 è invertibile (A^-1)^-1 = A

Dal fatto che A·A^-1 = I_n ⇒ det (A·A^-1) = det (I_n) = 1

Det (A)·det (A^-1) = 1

det A^-1 = ¹/_{det (A)}

Dim. 2) (A·B) (B^-1·A^-1) = A (B·B^-1)·A^-1 = A·I_n·A^-1 = A·A^-1 = I_n

(B^-1·A^-1)(A·B) = I_n

Rango di una matrice

Lemma

Sia x = {x₁,...,x_n} un sistema di vettori di kⁿ. Se in tale sistema di vettori si effettuano una o più operazioni del tipo:

• Cambiare l'ordine dei vettori
• Moltiplicare un vettore per uno scalare non nullo
• Somma di un vettore con un altro vettore dell'insieme fisso moltiplicato per uno scalare

La dipendenza o indipendenza dei vettori non cambia. In particolare non cambia il numero massimo di vettori linearmente indipendenti.

Dim.

x = { x₁,...,x_n } ⊆ kⁿ

Supponiamo che i vettori di x siano linearmente indipendenti.

i) E dimostriamo che cambiando l'ordine di vettori questi siano ancora indipendenti.

e) a ∈ x { ∅ }

x' = { x₁,...,x_i,...,x_n, x_k = e }

Te: x₁,..., x_i, ..., x_k linear. indep.

Th: x₁,..., x_i, ..., x_k-1, x_k linear. indep.

Operazione su vettore i-esimo

Proprietà

1) Se A è invertibile anche l'inversa è invertibile e det(A^-1) = ¹⁄_det(A)

2) (A·B)^-1 = B^-1·A^-1

Dim.

• Se A è invertibile ⟹ A·A^-1 = A^-1·A = I_n
• (B·A) B·A^-1 = A^-1·B = I_m

A^-1 è invertibile (A^-1)^-1 = A

Dal fatto che A·A^-1 = I_n ⟹ det(A·A^-1) = det(I_n) = 1

det(A)·det(A^-1) = 1

det A^-1 = ¹⁄_det(A)

Dim:

• (A·B) (B^-1·A^-1) = A (B·B^-1)·A^-1 = A·I_n·A^-1 = A·A^-1 = I_n

(B^-1·A^-1)(A·B) = I_n

Rango di una matrice

Lemma

Sia x = {x₁, ..., x_n} un sistema di vettori di k_n. Se in tale sistema di vettori si effettuano una o più operazioni del tipo:

• Cambiare l'ordine dei vettori
• Moltiplicare un vettore per uno scalare non nullo
• Somma di un vettore con un altro vettore dell'insieme fisso moltiplicato per uno scalare

La dipendenza o indipendenza dei vettori non cambia.

In particolare non cambia il numero massimo di vettori linearmente indipendenti.

Dim.

x = { x1, ..., xn } ⊆ kn

Supponiamo che i vettori di x siano linearmente indipendenti.

Operazione { scil vettore i-esimo, j-esimo } ⟹ linear. indep.

Th { x1, ..., xn } ⊂ x_i ⊢ Linear. indep.

e) i = ↪ { x₁, ..., x_i, ..., x_i, ..., xj ∈ x_i } ⊆ Basson⊕:

d₁, ..., d_t ∈ ℝ

d₁ x₁ + ... + d_i x_i - d_i α x_i + d_i+1 x_i+1 + ... + d_t x_t = 0

d₁ x₁ + ... + d_i α x_i + ... + d_t x_t = 0

{ d₁ = 0... d_i-1 = 0 d_i α = 0 ⇒ poiché α ≠ 0 ⇒ d_i α = 0 ⇒ d_i = 0 d_i+1 = 0... d_t = 0

⇒ x₁, ..., α x_i, ..., x_t sono linearmente indipendenti.

Hp. x₁, ..., α x_i, ... ι linear. indipend.

Th. x₁, ..., x_i, ..., x_t linear. indipend.

d₁, ..., d_t ∈ ℝ

d₁ x₁ + ... + d_i x_i + ... + d_t x_t = 0

a ≠ 0

a d₁ x₁ + ... + a d_t x_t = 0

(α d₁ x₁) + ... + α d_t x_t = 0 + (α (ε - a) x_i) = 0

d_i + α = 0

a ≠ 0

{d₁ = 0...d_t = 0

3) Prova a dimostrare

Sia x = { x₁, ..., x_t } ⊂ ℝⁿ il rango di x è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti in x. Indicati con: rg(x)

Esempio

x = { (4, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3) } ⊂ ℝ³

Sono dipendenti.

Il rango è 1 poiché solo un vettore è indipend ... ?

Se rg(x)=p allora in x esistono p vettori linearmente indipendenti e ogni altro vettore in x dipende linearmente da essi.

S={(1,-1,0),(0,1,1),(1,0,0),(2,-2,1)}⊂ℝ³

1 ≤ rg(S) ≤ 4

(1,-1,0), (0,1,1) sono linearmente indipendenti rg(S) > 2

(1,0,0)=α(1,-1,0)+β(0,1,1)=α,α+β,β

{α=1 α=α -α+β=0 α=0     ⟹ β=0 β=0

(1,-1,0),(0,1,1),(1,0,0) sono linearmente indipendenti ⟹ è una base di ℝ³

rg(S) ≥ 3

⇒ L({(1,0,0),(1,-1,0),(0,1,1)})=ℝ³ ⇒ (2,-2,1) ∈ L({(1,0,0),(1,-1,0) ,(0,1,1)})

⇒ rg(S) ≤ 3 ⇒ rg(S)=3

Ho già 3 vettori indipendenti che mi formano tutto lo spazio per cui il 4^o necessariamente sarà dipendente e contenuto nella chiusura lineare.

Sia A∈Iℝ _n,n

A=│α¹│     A=(α¹...αⁿ)     |α²|     |α^m|

αⁱ ∈ Iℝ^k_n     αⁱ ∈ Iℝ^k_m

Le colonne sono vettori dello spazio V in sé per sé in ogni sottospazio.

Insieme dei vettori riga      insieme dei vettori colonna

Rango per righe di A: rg({α₁,...,α_m}), ovvero il numero massimo di righe di A linearmente indipendenti. Si denota con rg_c(A)

Rango per colonne di A: rg({α¹,...,αⁿ}), ovvero il numero massimo di colonne di A linearmente indipendenti. rg_c(A)

Osserva

rg_r (A) ≤ m

rg_c (A) ≤ n

Proposizione

Sia A ∈ ℝ^_m,n ⇒ rg_r (A) = rg_c (A)

Notazione: rg (A) ⇒ non dipende da righe e colonne

Osserva

rg (A) ≤ min {m, n} ⇒ più piccolo del minimo tra m e n

rg (A) = rg (A^T) ⇒ rg A = rg A trasposta

Esempi

• I_n = ( ), rg (I_n) = n e₁ e₂ … e_n ∈ ℝⁿ {e₁, …, e_n} ⊆ ℝ^ℝh base canonica
• rg (o) = o
• A = (o 2 3 1 ♦ )(o 2 0 4 ♦ )(o o 1 0 + )(o o 5 1 )∈ ℝ

d₁ (o 2 3 1 ♦ ) +d₁ (o 2 0 4 ♦ ) +d₁ o o 1 0 +d₁ o o 5 1 ) += o elimino

⇒ primo vettore poiché o ≠ o

⇒ elimino anche questo

⇒ elimino= o elimino

1 ≤ rg (A) ≤ 5

Più piccolo tra 5 e 6

d₁ (o 2 3 1 ♦ ) +d₁ (o 2 0 4 ♦ ) +d₁ o o 1 0 +d₁ o o 5 1 ) += o elimino

Moltiplico per 1 pivot

(o , ' - ) -2d₂ 2 - a₁(o , o ) o o + - d₂ = o

a₁ = o; a₁ = o; 5 + α_l )(o , o ) + ( ; o ) = o elimino

⇒ le prime 4 righe sono linearmente indipendenti,

⇒ rg (A) ≥ 4 ⇒ rg (A) = 4

Il rango di una matrice ridotta a gradini corrisponde al numero dei suoi pivot. Dal fatto che R_i,j , R_i(k), r_i,j(k) preservano la dipendenza / indipendenza e dal fatto che ogni matrice è equivalente ad una matrice a gradini abbiamo il seguente risultato:

Proposizione

Sia A ∈ K^h×k e sia T una sua ridotta a gradini ⇒ rg(A)=rg(T)

Esempio

• A = (−1    2)(0    2) ⇒₁(2) (1    0)(0    0) rg(A)=1
• A = (−1    2    2)(0    1    1)(3    1    −1) ⇒_2,3(3) (−1    2)(0    1) ⇒_1,2(−2) (0) rg(A)=3
• A = (1    0    1)(2    1    0)(1    −1    0)(0    2    1) ⇒_2,1(1) (1    0    1)(0    1    0)(1    −1    0)(0    2    1) ⇒_3,2(½) (1    0    1)(0    1    0)(0    −1    −½)(0    2    1) ⇒_4,2(−1) (1    0    1)(0    1    0)(0    −½)(0    0    0) +k×2=0 k=½ (1    0    1)(0    1    0)(0    −½)(0    0) rg(A)=3
• det (−1    2    2)(0    1)(3    1    −1) = −det (1    −1)(3    −1) = −(1+3) = −4
• det (1    0    1   )(2    1    0)(1    −1    0)(0    2    1) = (−1)³ det (2    1    0)(1    −1    0)(0    2    1) +2 det (1    1)(0    −1)(0    1    1) 1 (0    1    0)(1    1)2    1 2    2 = 0+0+2+2 − 0+2 = 2

Sia A ∈ K^n×n rg(A)=n ⇔ det(A) ≠ 0

1) rg(A) = 0 ⇔ A = 0

2) rg(I_n) = n

3) rg(_a1⁄_an) = 1 ⇔ devo trovare una riga indipendente ⇒ tutte le altre sono ad essa proporzionali esiste i ∈ {1, ..., n} a_i ≠ 0

4) rg(_a1⁄_a2) ≥ 2 ⇔ a₁ e a₂ non sono proporzionali

5) v₁ = (1, 1, 0, 0)   v₂ = (2, 2, 0, 0)   v₃ = (0, 0, -1, 0)   v₄ = (1, 2, 1, 0)

v₅ = (0, 0, 0, -1)   ∈ IR⁴

rg(S) = 2   S = { v₁, v₂, v₃, v₄, v₅ }

rg(A) = rg(S)

A = _{1 1 0 02 2 0 00 0 -1 01 1 1 00 0 0 -1}

R_{2,1(-2) 1 1 0 00 0 0 00 0 -1 01 1 1 00 0 0 -1}

R_{4,1(-1) 1 1 0 00 0 0 00 0 -1 00 0 1 00 0 0 -1}

R_{2,5 1 1 0 00 0 0 -10 0 -1 00 0 1 00 0 0 -1}

R_{2,3 1 1 0 00 0 0 -10 0 1 00 0 0 00 0 0 -1}

R_{4,2(-1) 1 1 0 00 0 0 -10 0 1 00 0 0 00 0 0 -1}

rg(A) = rg(S) = 3

Trovo al massimo 3 vettori indipendenti in S chi sono?

Come trovare vettori indipendenti in S?

Sia A = [ a₁ ... a_n]   ∈ IR^q×p

Sia ( a_il ... a_im )   a_m   ...  ∈ IR

La sottomatrice A_il...im     j₁...j_t è la matrice ottenuta da A considerando gli elementi che si trovano nelle righe i₁...i_s e nelle colonne j₁...j_t

Fisso delle righe e delle colonne A = _{1 0 -1 2 0 3 4 5 0} ∈ IR^3×2

A_{1,2 | 2,3} = _{0 -1 0 3   ap} Minore d'ordine 2

A_{1,2 | 4,5} = _{0 -1 2 0   aq} non è un minore

Ogni sottomatrice quadrata di ordine k si chiama minore di ordine k.

Sia \( A \in \mathbb{K}^{m,n} \) e sia \( H = a_{i_1, \ldots, i_k; j_1, \ldots, j_k} \) un suo minore di ordine k. Siano \( i \in \{ 1, \ldots, m \} \setminus \{ i_1, \ldots, i_k \} \) e \( j \in \{ 1, \ldots, n \} \setminus \{ j_1, \ldots, j_k \} \).

Si definisce orlato di H rispetto alla riga i-esima e alla colonna j-esima.

\( H_{\bar{u}} \) = det \( ( \begin{array}{cc} a_{i_1j_1} & \ldots & a_{i_1j_k} & a_{i_1j} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{i_kj_1} & \ldots & a_{i_kj_k} & a_{i_kj} \\ a_{ij_1} & \ldots & a_{ij_k} & a_{ij} \end{array} ) \) appartiene \( \mathbb{K}^{k+1,k+1} \)

Esempio

\( A = \begin{pmatrix} 1 & \underline{2} & -1 & \underline{4} \\ 2 & 1 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & -2 \\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

\( H = A_{1,3;1,4} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 \end{pmatrix} \)

Calcolare orlato \( \rightarrow \) prendere righe e colonne non comprese in H e poi calcolare det

i = 3

Elemento che si trova in posizione \( a_{34} \) elemento che sta su 3 riga e si trova sulle stesse colonne del minore.

\( H_{\bar{3,2}} = \det \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)

Elemento che si trova sulla 2 colonna ma sulle stesse righe in H.

Elemento in posizione \( a_{32} \)

\( A = \begin{pmatrix} \underline{1} & 2 & \underline{-1} & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \)

Scolgo minore

\( H = A_{1,3;1,4} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \)

i = 2

j = 1,3

\( H_{\bar{2,1}} = \det \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ -1 & 0 \\ -2 \end{pmatrix} \)