Matematica e statistica - esercizi svolti

Matematica e statistica per scienze biologiche

Probabilità, esercizi svolti A.A. 2021-2022

1. Calcolo della probabilità di un evento

Estraendo un gettone da un’urna che ne contiene 20 numerati da 1 a 20, calcolare la probabilità dell’evento: E = «il numero sia pari o multiplo di 3 o di 5»

L’evento E è l’evento unione degli eventi:

• E₁ = «numero pari» = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
• E₂ = «multiplo di 3» = {3, 6, 9, 12, 15, 18}
• E₃ = «multiplo di 5» = {5, 10, 15, 20}

I tre eventi sono compatibili in quanto hanno elementi in comune; il loro evento unione E ha 14 elementi, quindi:

p(E) = ¹⁴⁄₂₀ = ⁷⁄₁₀

Per calcolare la probabilità di E possiamo anche utilizzare:

p(E) = p(E₁ ∪ E₂ ∪ E₃) = p(E₁) + p(E₂) + p(E₃) - p(E₁ ∩ E₂) - p(E₁ ∩ E₃) - p(E₂ ∩ E₃)

p(E) = ¹⁰⁄₂₀ + ⁶⁄₂₀ + ⁴⁄₂₀ - ³⁄₂₀ - ¹⁄₂₀ - ²⁄₂₀ = ¹⁴⁄₂₀ = ⁷⁄₁₀.

2. Probabilità di estrazione di palline da un'urna

Un’urna contiene 5 palline nere, 7 rosse, 9 verdi. Estraiamo consecutivamente due palline, senza rimettere la prima nell’urna. Calcoliamo la probabilità che:

• a. Siano dello stesso colore
• b. Una sia nera e l’altra verde

a. Tenendo conto del fatto che gli eventi sono dipendenti, abbiamo:

⁵⁄₂₁ ∙ ⁴⁄₂₀ + ⁷⁄₂₁ ∙ ⁶⁄₂₀ + ⁹⁄₂₁ ∙ ⁸⁄₂₀ = ¹⁰⁄₂₁₀ + ²¹⁄₂₁₀ + ³⁶⁄₂₁₀ = ⁶⁷⁄₂₁₀.

b. Analogamente:

⁵⁄₂₁ ∙ ⁹⁄₂₀ + ⁹⁄₂₁ ∙ ⁵⁄₂₀ = ⁴⁵⁄₄₂₀ + ⁴⁵⁄₄₂₀ = ³⁄₂₈ + ³⁄₂₈ = ³⁄₁₄.