Massa puntiforme all estremo della bacchetta

Massa puntiforme all’estremo della bacchetta

La conservazione dell’energia

Massa puntiforme all’estremo della bacchetta

La conservazione dell’energia

Una massa puntiforme m è fissata all'estremo di una bacchetta di lunghezza l, rigida e leggera in modo che il sistema può costituire un pendolo semplice; l'altro estremo della bacchetta è imperniato. La bacchetta viene posta verticalmente in posizione di equilibrio instabile e lasciata ricadere da ferma.

1. Quali sono la velocità v e la tensione t sul perno, nel punto più basso?
2. Lo stesso pendolo è portato in posizione orizzontale e poi abbandonato da fermo. A quale angolo della verticale il valore della tensione eguaglia quella del peso?

a) Sulla massa agiscono la forza peso e la tensione T della bacchetta. T è diretta sempre normalmente alla traiettoria; non compie quindi lavoro. Soltanto la forza gravitazionale lavora sul blocco e tale forza è conservativa.

Si può scrivere U + K = U_o + K_o. U_o e K_o si riferiscono alla posizione iniziale. U e K si riferiscono ad una posizione generica.

Nel riferimento scelto U = -∫(mg) dy + U(0), (in quanto la forza, diretta verticalmente verso il basso, presenta segno negativo). Si ha: U = mgy + U(0). Posto U(0) = 0, poiché la posizione iniziale è individuata dalla coordinata y = 0, si ha: U_o = mgl. Nel punto più basso invece y = -l per cui U = -mgl.

L’energia cinetica nella posizione iniziale è nulla, in quanto la bacchetta è in equilibrio, anche se instabile, e quindi v_o = 0.

Nella posizione più bassa, se la velocità è v, si ha K = ¹/₂ mv², per cui: mgl = −mgl + ¹/₂ mv² da cui v = √2gl.

Siccome le forze che agiscono sul blocco durante il moto sono la tensione T e la forza peso, la componente radiale della risultante di esse imprime alla massa un'accelerazione v²/l.

Nel punto più basso v è noto: supponiamo la tensione T diretta verso l'alto e ora T e mg sono dirette radialmente. Si ha: T − mg = m v²/l da cui: T = mg + m 4gl/l = 5mg.

Nel riferimento scelto ora, la forza è mg diretta secondo y per cui U = −∫_y⁰ mgdy + U(0).

b) Posto U(0) = 0 si ha: U = −mgy mentre l'energia potenziale V_o della posizione iniziale è V_o = 0. Inoltre K_o = 0 perché il