Lo skate board e il giro della morte

Lo skate board e il giro della morte

Lavoro ed energia fisica esercizi

Lo skate board e il giro della morte

Lavoro ed energia fisica esercizi

Una pista di "skate-board" ha la forma rappresentata schematicamente in Figura 4.8. Il raggio della parte circolare è R = 2 m. L'inclinazione del tratto in discesa è θ = 60°. Sapendo che il percorso inclinato è scabro con coefficiente di attrito dinamico μ = 0,4 mentre nella parte circolare l'attrito è trascurabile, determinare l'altezza minima h dalla quale è possibile lanciarsi con lo "skate board" per poter compiere il così detto "giro della morte".

(Figura 4.8)

Calcoliamo dapprima il lavoro L_a compiuto dalla forza di attrito f il cui modulo, in questo caso, è espresso da:

f = μ m g cosθ

Detta ℓ la lunghezza del tratto inclinato possiamo scrivere:

L_a = - μ m g cosθ · ℓ

Ed essendo ℓ = h/senθ:

L_a = - μ m g h cotgθ (1)

Il principio di conservazione dell'energia applicato al solo percorso CA, tenuto conto del lavoro dissipativo L_a, è espresso dall'equazione:

m g h + L_a = (½) m v_A² (2)

Ove m g h rappresenta l'energia potenziale del pattinatore di massa m che si lancia dall'altezza h e (½) m v_A² la sua energia cinetica quando giunge nel punto A (Figura 4.8). Applichiamo nuovamente il principio di conservazione dell'energia nel tratto liscio circolare tra i punti A e B:

(½) m v_A² = m g ∙ 2 R + (½) m v_B² (3)

L'equazione (3) è corretta perché in A l'energia del pattinatore è solo cinetica mentre in B è cinetica e potenziale (il pattinatore infatti si trova ad altezza 2R dal suolo rispetto al quale è stato fissato lo zero dell'energia potenziale). Perché il pattinatore possa completare il “giro della morte” la forza centrifuga nel punto B dovrà essere maggiore o uguale al peso del pattinatore. In linguaggio matematico questo si esprime con la disequazione:

E quindi:

v_B² ≥ g R (4)

Dalla (2) combinata con la (1) ricaviamo v_A²:

v_A² = 2 g h (1 − μ cotgθ) (5)

Combinando ora la (5) con la (3) ricaviamo v_B²:

v_B² = 2 g h (1 − μ cotgθ) − 4 g R

In tal modo la (4) diventa:

2 g h (1 − μ cotgθ) − 4 g R ≥ g R

Che, opportunamente semplificata, fornisce il risultato: